Es gibt kein k, sodass Log(z1z2)=Log(z1)+Log/z2)+πik

Question

Aufgabe:

Es wird nun der "principal branch" der Logarithmusfunktion \( \log : \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} \leq 0 \rightarrow \mathbb{C} \) betrachtet. Zeigen Sie, dass gilt:

Es gibt kein \( k \in \mathbb{Z} \), für das für jedes \( z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}_{\leq 0} \) mit \( z_{1} z_{2} \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}_{\leq 0} \) gilt: \( \log \left(z_{1} z_{2}\right)= \) \( \log \left(z_{1}\right)+\log \left(z_{2}\right)+\pi i k \).

Problem/Ansatz:

Mir ist momentan leider nicht wirklich klar, wie ich die gegebene Aussage zeigen soll. Man wird wahrscheinlich irgendwie die folgende Eigenschaft der Logarithmusfunktion nutzen können:

\( \log (a b)=\log (a)+\log (b) \)

Bzw.

\( \log \left(z_{1} \cdot z_{2}\right)-\log \left(z_{1}\right)-\log \left(z_{2}\right)=\pi i k \) 

Danke für Hilfe und Erklärung im Voraus ☺

Answer 1

Hallo,

ich gehe davon aus, dass es um folgende Definition geht:

$$\log(z):=\ln(r)+is, \text{  für } =r\exp(is),-\pi<s<\pi$$

Dann würde ich jeweils vergleichen

$$\log(z\cdot z) \text{  mit }\log(z)+\log(z)$$

und zwar für

$$z=\exp(\frac{\pi}{4}) \text{  und }z=\exp(\frac{3\pi}{4})$$

Comments

Hallo Mathhilf,

Danke dir für deine Antwort - hab es damit hinbekommen!

LG Euler