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Aufgabe:

… Der Graph der ganzrationalen Funktion h vierten Grades hat in O (0|0) und im Wendepunkt W (-2|2) Tangenten parallel zur x- Achse


Problem/Ansatz:

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… Der Graph der ganzrationalen Funktion h vierten Grades hat in O(00)O (0|0) und im Wendepunkt W(22)W (-2|\red{2}) Tangenten parallel zur x- Achse.

Da der Weg per Gauß schon dargelegt wurde, hier eine andere Möglichkeit:

Ein Wendepunkt W(22)W (-2|2) Tangente parallel zur x- Achse bedeutet, dass hier ein Sattelpunkt vorliegt:

Deshalb verschiebe ich den Graph um 2\red{2} Einheiten nach unten:  W´(20)W´ (-2|0) Hier ist nun eine dreifache Nullstelle:

f(x)=a(x+2)3(xN)f(x)=a(x+2)^3(x-N)

O(00)O (0|0)→  O´(02)O´ (0|-2):

f(0)=a(0+2)3(0N)=8aN=2f(0)=a(0+2)^3(0-N)=-8aN=-2→ a=14Na=\frac{1}{4N}

f(x)=14N(x+2)3(xN)f(x)=\frac{1}{4N}(x+2)^3(x-N)

parallele Tangente bei   O´(0...)O´ (0|...):

f(x)=14N[3(x+2)2(xN)+(x+2)3]f'(x)=\frac{1}{4N}[3(x+2)^2(x-N)+(x+2)^3]

f(0)=14N[3(0+2)2(0N)+(0+2)3]=0f'(0)=\frac{1}{4N}[3\cdot(0+2)^2(0-N)+(0+2)^3]=0    N=23N=\frac{2}{3}   a=1423=38a=\frac{1}{4\cdot \frac{2}{3}}=\frac{3}{8}

f(x)=38(x+2)3(x23)f(x)=\frac{3}{8}(x+2)^3(x-\frac{2}{3})

2\red{2} Einheiten nach oben:

h(x)=38(x+2)3(x23)+2h(x)=\frac{3}{8}(x+2)^3(x-\frac{2}{3})+2

Unbenannt.JPG

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… Der Graph der ganzrationalen Funktion h vierten Grades hat ... in O (0|0) 

f(0)=0

.. in O (0|0) Tangenten parallel zur x- Achse

f'(0)=0



Der Graph der ganzrationalen Funktion h vierten Grades hat ... im ...punkt W (-2|2) 

f(-2)=2

Wendepunkt W (-2|2) 


f''(-2)=0

im ...punkt W (-2|2) Tangenten parallel zur x- Achse

f'(-2)=0


Das sind 5 Gleichungen für die 5 Variablen a, b, c, d und e in f(x)=ax4 + bx³ + cx² +dx + e.

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Die Funktion heißt h(x).

Der Graph der ganzrationalen Funktion h vierten Grades
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h(x) = ax4+bx3+cx2+dx+e

h'(x)= 4ax3+3bx2+2cx+d

h''(x)= 12ax2+6bx+2c

Die x-Achse hat die Steigung m=0

h(0) = 0 -> e=0

h '(0) = 0  -> d= 0

h(-2)= 2

h ''(-2)= 0

h'(-2)= 0


16a-8b+4c=2

48a-12b+2c=0

-32a+12b-4c= 0

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