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Guten Abend Mathelounge,
im Rahmen von Laufzeitanalysen als Teil meiner Algorithmik-Forlesung ist folgende Ungleichung aufgetaucht die umgeformt wurde um weiter zu argumentieren:

Aus (n+a)b ≤ C nb folgt für n > 0 und b > 0:


(n+a)bnbC \frac{(n+a)^b}{n^b} \leq C
Vereinfachen wir den Term, dann erhalten wir für n>0

(1+ an \frac{a}{n} )b ≤C

Problem/Ansatz:

Mir ist nicht klar was bei dieser Umformung geschieht bzw. wie man von Ungleichung 1 zu Ungleichung 2 kommt. Mein Ansatz war mit n-b / n-b zu erweitern um im Nenner auf 1 zu kommen und dann weiter umzuformen, allerdings ist da das a in der Summe im Nenner "im Weg".

Kann mir jemand helfen?

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Potenzgesetze und den Bruch auseinanderziehen: (n+a)bnb=(n+an)b=(nn+an)b\frac{(n+a)^b}{n^b}=\left(\frac{n+a}{n}\right)^b=\left(\frac{n}{n}+\frac{a}{n}\right)^b.

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Danke sehr!!

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