Was sind Übergangsmatrizen?

Question

Sei \( V=\mathbb{R}^{4 \times 1} \) der Vektorraum über \( \mathbb{R} \) mit der Standardbasis
\( B=\left\{(1,0,0,0)^{T},(0,1,0,0)^{T},(0,0,1,0)^{T},(0,0,0,1)^{T}\right\} \text {. } \)
(a) Man beweise, dass \( B^{\prime}=\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)\right\} \) Basis von \( V \) ist.
(b) Man ermittle die Übergangsmatrizen \( M\left(B, B^{\prime}\right) \) und \( M\left(B^{\prime}, B\right) \).
(c) Man gebe die Koordinaten von \( (1,2,3,4)^{T} \) bez. \( B^{\prime} \) an.

Weiß jemand was mit Übergangsmatrizen gemeint ist?

in der VL haben wir M als Menge aller Linearkombinationen von endlich vielen Elementen von M definiert.

Ich hätte jetzt einfach die kanonsche Basis mal B' genommen?

Vielen Dank.

Comments

Man stellt die Vektoren der zweiten Basis als Linearkombinationen der ersten dar und schreibt die Koeffizienten spaltenweise auf.

Answer 1

Aloha :)

Die Vektoren von \(B\) und \(B'\) sind bezüglich der kanonischen Standardbasis \(S\) angegeben. Die Vektoren von \(B\) sind sogar diejenigen der kanonischen Standardbasis \(S\). Du weißt also, wie die Basisvektoren von \(B'\) bezüglich der Basis \(S\) bzw. \(B\) aussehen. Damit hast du schon mal eine Übergangsbasis fertig:$$\operatorname{T}_{B\leftarrow B'}=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\1 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & 0 & 2\end{array}\right)$$

In die andere Richtung geht es mit der inversen Matrix. Da \(B'\) eine Basis der \(\mathbb R^4\) ist, ist die Determinante von \(T_{B\leftarrow B'}\) von Null verschieden, sodass die Inverse existiert:$$T_{B'\leftarrow B}=\left(T_{B\leftarrow B'}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrrr}0 & -1 & 1 & 0\\2 & 2 & -2 & -1\\1 & 2 & -1 & -1\\-1 & -1 & 1 & 1\end{array}\right)$$

Comments

Vielen Dank. Wie liest/spricht man T_{B'<--B}?

---

Es gibt aber viele verschiedene Schreibweisen:$$T_{B\leftarrow A}\quad;\quad T^A_B\quad;\quad T_{BA}\quad;\quad{_B}T_A\quad;\quad{_B}\operatorname{id}_A$$Man liest sie als " (Transformation) von \(A\) nach \(B\) ".

Verwende am besten die Schreibweise aus der Vorlesung und merke dir, wo die Basis für die Eingangsvektoren und wo die Basis für die Ausgangsvektoren hingeschrieben wird.