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Aufgabe:

Ich möchte den kettenbruch von wurzel12 bestimmen.


Problem/Ansatz:

Ich weiß das ergebnis ist [3,2,6periodisch], die 3 und 2 konnte ich bereits ermitteln und somit den kettenbruch.

Jedoch komme ich nicht auf die 6, kann mir bitte jemand helfen? ich habe das allgemeine verfahren angewendet,

mit alpha = a0+1/(1/(alpha-) usw. jedoch kann ich nun nicht a2 bestimmen. Mein a1 ist 2 und alpha 1 ist 1/(123 \sqrt{12} -3

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vgl:


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Text erkannt:

α=12α=a0+11αa012=3+1112312=3+1a1+11α1a1ξα2=3+12+111232 \begin{aligned} \alpha=\sqrt{12} \quad \begin{aligned} \alpha & =a_{0}+\frac{1}{\frac{1}{\alpha-a_{0}}} \\ \sqrt{12} & =3+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{12}-3}} \\ \sqrt{12} & =3+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{\frac{1}{\alpha_{1}-a_{1}} \xi_{\alpha_{2}}}} \\ & =3+\frac{1}{2+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{12}-3}-2}}\end{aligned}\end{aligned}
a0 : =[α]=3a1=[α1]=[1αa0] \begin{array}{l}a_{0}:=[\alpha]=3 \\ a_{1}=\left[\alpha_{-1}\right]=\left[\frac{1}{\alpha-a_{0}}\right]\end{array}
=1123=12+3123)(12+31=12+3123=12399α1a1=2 \begin{array}{l}=\frac{1}{\sqrt{12}-3} \\ =\frac{\sqrt{12}+3}{\sqrt{12}-3)(\sqrt{12}+31} \\ =\frac{\sqrt{12}+3}{12-3} \\ =\frac{\sqrt{12}-3}{9} \underbrace{9}_{\alpha_{1}} \Rightarrow a_{1}=2\end{array}
a2=[a2]=[121a1]=112332=12363=1293a2=393=63=2f. \begin{aligned} a_{2}=\left[a_{2}\right] & =\left[\frac{1}{21-a_{1}}\right] \\ & =\frac{1}{\frac{\sqrt{12}-3}{3}-2} \\ & =\frac{\sqrt{12}-3-6}{3} \\ & =\frac{\sqrt{12}-9}{3} \\ & \Rightarrow a_{2}=\frac{3-9}{3}=\frac{-6}{3}=-2 f .\end{aligned}

Das ist mein Weg, a2 stimmt aber nicht, das muss ja 6 sein, aber ich schaffs nicht, hab mir schon so viele videos angesehen (leider konnte ich das bild nicht drehen)


Text erkannt:

α=12α=a0+11αa012=3+1112312=3+1a1+11α1a1ξα2=3+12+111232 \begin{aligned} \alpha=\sqrt{12} \quad \begin{aligned} \alpha & =a_{0}+\frac{1}{\frac{1}{\alpha-a_{0}}} \\ \sqrt{12} & =3+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{12}-3}} \\ \sqrt{12} & =3+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{\frac{1}{\alpha_{1}-a_{1}} \xi_{\alpha_{2}}}} \\ & =3+\frac{1}{2+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{12}-3}-2}}\end{aligned}\end{aligned}
a0 : =[α]=3a1=[α1]=[1αa0] \begin{array}{l}a_{0}:=[\alpha]=3 \\ a_{1}=\left[\alpha_{-1}\right]=\left[\frac{1}{\alpha-a_{0}}\right]\end{array}
=1123=12+3123)(12+31=12+3123=12399α1a1=2 \begin{array}{l}=\frac{1}{\sqrt{12}-3} \\ =\frac{\sqrt{12}+3}{\sqrt{12}-3)(\sqrt{12}+31} \\ =\frac{\sqrt{12}+3}{12-3} \\ =\frac{\sqrt{12}-3}{9} \underbrace{9}_{\alpha_{1}} \Rightarrow a_{1}=2\end{array}
a2=[a2]=[121a1]=112332=12363=1293a2=393=63=2f. \begin{aligned} a_{2}=\left[a_{2}\right] & =\left[\frac{1}{21-a_{1}}\right] \\ & =\frac{1}{\frac{\sqrt{12}-3}{3}-2} \\ & =\frac{\sqrt{12}-3-6}{3} \\ & =\frac{\sqrt{12}-9}{3} \\ & \Rightarrow a_{2}=\frac{3-9}{3}=\frac{-6}{3}=-2 f .\end{aligned}

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Beste Antwort

Ich sehe in deinem Text nicht durch:

Recursion\, Kettenbruch:

ai+1=1aiai1aiai,i=0na_{i+1} = \frac{1}{a_i-\lfloor a_i\rfloor}\to \lfloor \frac{1}{a_i-\lfloor a_i\rfloor}\rfloor,i=0\dots n


a0=12=23\begin{array}{l}a_{0}=\sqrt{12} =2 \sqrt{3}\end{array}

a1=1a0a0=1233\begin{array}{l}a_{1}=\frac{1}{a_{0}-\left\lfloor a_{0}\right\rfloor} =\frac{1}{2 \sqrt{3}-3}\end{array}

a2=1a1a1=23+3\begin{array}{l}a_{2}=\frac{1}{a_{1}-\left\lfloor a_{1}\right\rfloor} =2 \sqrt{3}+3\end{array}

a3=1a2a2=1233\begin{array}{l}a_{3} & =\frac{1}{a_{2}-\left\lfloor a_{2}\right\rfloor} = \frac{1}{2 \sqrt{3}-3}\end{array}

a4=1a3a3=23+3\begin{array}{l}a_{4}=\frac{1}{a_{3}-\left\lfloor a_{3}\right\rfloor} =2 \sqrt{3}+3\end{array}

{a0,a1,a2,a3,a4}={3,2,6,2,6}\begin{array}{l}\left\lfloor\left\{a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\}\right\rfloor =\{3,2,6,2,6\}\end{array}

3+12+16+12+16+12+16+12+3+\frac{1}{2+\frac{1}{6+\frac{1}{2+\frac{1}{6+\frac{1}{2+\frac{1}{6+\frac{1}{2+\cdots}}}}}}}


Avatar von 21 k

ja, ich verstehs noch immer nicht mein problem liegt in der bestimmung der eckigen klammer, warum zb. wird wurzel12=2wurzel3?

@math_student

12=43=4  3 \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3}= \sqrt{4} \; \sqrt{3}

reicht der Hinweis?

und numerisch gerechnet spielt es eh keine Rolle

(3.464101615132.154700538426.464101615162.154700538426.464101615162.154700538426.46410161396)\small \left(\begin{array}{rr}3.4641016151&3\\2.1547005384&2\\6.4641016151&6\\2.1547005384&2\\6.4641016151&6\\2.1547005384&2\\6.4641016139&6\\\end{array}\right)

ja ich habs schon verstanden, ist eigentlich recht einfach

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