Beweisen im Thema Zahlentheorie

Question

Aufgabe:

1. Sei

$f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Z}$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie, dass $f(x)=0$ für alle $x \in \mathbb{Q}$.

2. Bestimmen Sie für jedes $n \in \mathbb{N}$ einen Gruppenhomorphismus

$g_{n}: \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q} / \mathbb{Z},$

sodass es ein $\bar{k} \in \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ mit $g_{n}(\bar{k}) \neq 0$ gibt. Gibt es solch einen Homomorphismus auch, wenn wir $\mathbb{Q} / \mathbb{Z}$ mit $\mathbb{Q}$ ersetzen?

Answer 1

Es ist bewiesen, wenn f(1)=0 gezeigt werden kann

Sei n∈ℕ. Dann ist a:=f(1)

=f(1/n+1/n+...+1_n)

Wegen Hom also

=f(1/n)+...+f(1/n)

=n*f(1/n)

Unf f(1/n)∈ℤ.

Also ist a für jedes n∈ℕ durch n teilbar. Somit a=0.

Answer 2

ℤ/nℤ wird durch 1 erzeugt, wir setzen g(1) = 1/n, dann ist g wegen g(n) ∈ ℤ, d.h g(0)=0 wohldefiniert.

Wenn wir den Wertevorrat ℚ haben wollen, müsste g(n) = 0 sein