Projektion lineare Abbildung

Question

ich habe ein Verständnisproblem mit dem Begriff der Projektion.

Eine Projektion ist nach meiner Literatur definiert als eine lineare Abbildung h: V → V mit $h^{2}$ = h

Als Beispiel wird hier wird angegeben, dass die Abbildung h: $R^{3}$ → $R^{3}$ mit h(x) = A*x und A = $\begin{pmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{pmatrix}$ eine Projektion ist.

Ich verstehe nicht warum.

h(x) ergibt einen Spaltenvektor. h(x) * h(x) kann ja dann nicht funktionieren, da h(x)*A schon nicht mehr funktionieren kann (Spaltenvektor * Matrix).

Was vernehme ich hier falsch?

Answer 1

Hier ist nicht die Multiplikation gemeint, sondern die Verkettung $h\circ h$. Du kannst also $Ax$ wieder problemlos in $h$ einsetzen und dann $h(Ax)=A\cdot Ax=A^2x$ berechnen. Um also die Eigenschaft nachzuweisen, muss $A^2=A$ gelten.

Comments

Oh, dann macht das natürlich alles Sinn. Vielen Dank für die Hilfe.