Projektion lineare Algebra

Question

Ich verstehe diese Aufgaben komplett nicht. Bei der a macht es noch etwas Sinn für mich aber wie ich es beweisen soll weiß ich nicht genau. Wäre nett wenn mir jemand bei den Aufgaben helfen könnte.

Text erkannt:

Sei \( V \) ein \( \mathbb{R} \)-Vektorraum. Eine lineare Abbildung \( \pi: V \rightarrow V \) heißt Projektion, wenn \( \pi \circ \pi=\pi \) gilt.
a) Sei \( \pi \) eine Projektion. Zeigen Sie, dass \( V=\operatorname{Kern}(\pi) \oplus \operatorname{Bild}(\pi) \).
b) Seien \( \pi_{1}, \ldots, \pi_{n} \) Projektionen, so dass \( \sum \limits_{i=1}^{n} \pi_{i}=\mathrm{id}_{V} \) und \( \pi_{i} \circ \pi_{j}=0 \) für \( i \neq j \) gilt. Zeigen Sie:
\( V=\bigoplus_{i=1}^{n} \operatorname{Bild}\left(\pi_{i}\right) \)
c) Sei \( V=\oplus_{i=1}^{n} V_{i} \). Bestimmen Sie Projektionen \( \pi_{1}, \ldots, \pi_{n} \) sodass \( \operatorname{Bild}\left(\pi_{i}\right)=V_{i} \) und \( \pi_{i} \circ \pi_{j}=0 \) für \( i \neq j \).

Answer 1

Sei p eine Projektion p:V→V.

Sei v∈V. Bleibt zu zeigen: Es gibt u∈Kern(p) und w∈Bild(p)

mit v = u+w  # .

Betrachte p(v-p(v)) = (wegen Linearität) p(v) - p(p(v))

                            =(wegen Projektion) p(v) - p(v) = 0

Also ist u:=v-p(v) ∈ Kern(p)  und offenbar w:=p(v) ∈ Bild(p)

somit ist u+w = v-p(v) + p(v) = v eine Darstellung wie in #

Damit die Summe direkt ist, bleibt zu zeigen

Kern(p) ∩ Bild(p) = {0}.  Dass 0 in dem Durchschnitt ist, ist wohl klar.

Sei also x ∈ Kern(p) ∩ Bild(p)  ==>  p(x)=0 und

       es gibt ein y∈V mit p(y) = x

             ==>x =  p(y) =  p(p(y)) = p(x)  = 0

Also x=0 . Somit Kern(p) ∩ Bild(p) = {0}.

Comments

So ähnlich habe ich die a auch schon hinbekommen jedoch habe ich bei den restlichen zwei überhaupt keinen Ansatz noch Idee