0 Daumen
228 Aufrufe

wie gehe ich hier vor. Habs mit dem Wurzel und Quotientenkriterium versucht, bisher ohne Erfolg.

Bildschirmfoto vom 2024-04-29 15-52-33.png

Text erkannt:

Bestimmen sie alle \( X \in \mathbb{R} \), für dii die Reike
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n 3^{n}} \)
konverget.

Avatar von

Schon was versucht? Wo ist dein Problem? Was weißt du über den Konvergenzbereich von Potenzreihen?

Habs mit dem Wurzel und Quotientenkriterium versucht,


Zeigen!

1 Antwort

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Gesucht ist der Konvergenzradius \(r\) der Potenzreihe:$$p(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x^{n-1}}{n3^n}=\sum\limits_{n=1\pink{-1}}^\infty\frac{x^{(n\pink{+1})-1}}{(n\pink{+1})3^{n\pink{+1}}}=\sum\limits_{n=0}^\infty\underbrace{\frac{1}{(n+1)3^{n+1}}}_{\eqqcolon a_n}\,x^n$$

Diesen bestimmen wir als Grenzwert von$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(n+2)3^{n+2}}{(n+1)3^{n+1}}\right|=3\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)=3$$Die Reihe konvergiert daher für \(|x|<3\).

An den Rändern \(x=\pm3\) des Konvergenzradius wird die Konvergenz nicht automatisch garantiert. Daher prüfen wir sie expliziit nach:$$p(3)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{3^{n-1}}{n3^n}=\frac13\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1n\to\infty$$$$p(-3)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-3)^{n-1}}{n3^n}=\frac{1}{(-3)}\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-3)^n}{n\,3^n}=-\frac13\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}=\frac13\ln(2)$$

Falls du die Potenzreihe für die Logarithmusfunktion nicht auswendig kennst, erkennst du im zweiten Fall, dass \(\frac1n\) eine monoton fallende Nullfolge ist, sodass das Leibniz-Kriterium für die Konvergenz alternierender Reihen erfüllt ist.

Die Summe konvergiert also für:\(\quad -3\le x<3\).

Avatar von 152 k 🚀

Hey Tschaka,

danke für die schnelle und ausführliche Antwort. Wieso verschiebe ich den Index von n=1 auf n=0?

Wenns offensichtlich sein sollte, schreib das ruhig, dann schaue ich es mir nochmal in anderen Beispielen an warum man das macht.

VG

Die beiden bekannten Formeln für den Konvergenzradius$$r=\frac{1}{\operatorname{lim\;\, sup}_{n\to\infty}\left(\sqrt[n]{\left|a_n\right|}\right)}\quad;\quad r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$$beziehen sich auf Potenzreihen der Form:$$p(x)=\sum\limits_{n=\pink0}^\infty a_n\cdot(x-x_0)^n$$

Die Indextransformation habe ich durchgeführt, damit es mathematisch "Sauber" ist.

Alles klar. Danke !!!

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community