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Aufgabe:

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4.1. Sei V V ein K \mathbb{K} -Vektorraum und φ : VK \varphi: V \rightarrow \mathbb{K} eine lineare Abbildung.
(a) Zeigen Sie, dass φ \varphi surjektiv ist genau dann wenn ein vV v \in V existiert mit φ(v)0 \varphi(v) \neq 0 .
(b) Hier sei nun dim(V)=n \operatorname{dim}(V)=n . Zeigen Sie, wenn φ(v)0 \varphi(v) \neq 0 für ein vV\{0V} v \in V \backslash\left\{0_{V}\right\} , so gibt es Basisfolgen BVn B \in V^{n} und BK1 B^{\prime} \in \mathbb{K}^{1} mit
B[φ]B=(100)K1×n. { }_{B^{\prime}}[\varphi]_{B}=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right) \in \mathbb{K}^{1 \times n} .
(c) Geben Sie für φ : KnK \varphi: \mathbb{K}^{n} \rightarrow \mathbb{K} mit
φ((x1xn))=i=1nxi \varphi\left(\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right)\right)=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}

Basisfolgen wie in (b) an.
(2+3+2 Punkte ) (2+3+2 \text { Punkte })



Problem/Ansatz:

Ehrlich gesagt weiß ich nicht wie ich da rangehen soll

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Was bedeutet denn "surjektiv " ?

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1 Antwort

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Zur a):

Wenn f(v)=k0f(v)=k\neq 0, dann ist f(k1v)=1f(k^{-1}v)=1.

Zur b):

Solch eine Abbildung muss nach dem Dimensionssatz Rang 11 und Defekt n1n-1 haben. Wenn du dir eine Basis des Kerns nimmst, werden diese schonmal die Nullen in deiner Darstellungsmatrix geben. Jetzt füllst du das zu einer Basis von VV auf mithilfe eines weiteren Vektors vv. Was könntest du denn als Basis von KK wählen, damit vv für eine 11 in der Darstellungsmatrix verantwortlich ist?

Zur c):

Deine Abbildung kannst du schreiben als φ(v)=(11)v\varphi(v)=\begin{pmatrix}1&\ldots&1\end{pmatrix}\cdot v. Das wirkt doch verdächtig, oder? Da hast du einen Vektor, der irgendwie die Funktionswerte "generiert", und du hast ja einen (n1)(n-1)-dimensionalen Raum, der orthogonal auf diesem Vektor steht..

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