surjektive lineare Abbildung und Basisfolgen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

4.1. Sei $V$ ein $\mathbb{K}$-Vektorraum und $\varphi: V \rightarrow \mathbb{K}$ eine lineare Abbildung.
(a) Zeigen Sie, dass $\varphi$ surjektiv ist genau dann wenn ein $v \in V$ existiert mit $\varphi(v) \neq 0$.
(b) Hier sei nun $\operatorname{dim}(V)=n$. Zeigen Sie, wenn $\varphi(v) \neq 0$ für ein $v \in V \backslash\left\{0_{V}\right\}$, so gibt es Basisfolgen $B \in V^{n}$ und $B^{\prime} \in \mathbb{K}^{1}$ mit
${ }_{B^{\prime}}[\varphi]_{B}=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right) \in \mathbb{K}^{1 \times n} .$
(c) Geben Sie für $\varphi: \mathbb{K}^{n} \rightarrow \mathbb{K}$ mit
$\varphi\left(\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right)\right)=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}$

Basisfolgen wie in (b) an.
$(2+3+2 \text { Punkte })$

Problem/Ansatz:

Ehrlich gesagt weiß ich nicht wie ich da rangehen soll

Comments

Was bedeutet denn "surjektiv " ?

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Eigenleistung?

Answer 1

Zur a):

Wenn $f(v)=k\neq 0$, dann ist $f(k^{-1}v)=1$.

Zur b):

Solch eine Abbildung muss nach dem Dimensionssatz Rang $1$ und Defekt $n-1$ haben. Wenn du dir eine Basis des Kerns nimmst, werden diese schonmal die Nullen in deiner Darstellungsmatrix geben. Jetzt füllst du das zu einer Basis von $V$ auf mithilfe eines weiteren Vektors $v$. Was könntest du denn als Basis von $K$ wählen, damit $v$ für eine $1$ in der Darstellungsmatrix verantwortlich ist?

Zur c):

Deine Abbildung kannst du schreiben als $\varphi(v)=\begin{pmatrix}1&\ldots&1\end{pmatrix}\cdot v$. Das wirkt doch verdächtig, oder? Da hast du einen Vektor, der irgendwie die Funktionswerte "generiert", und du hast ja einen $(n-1)$-dimensionalen Raum, der orthogonal auf diesem Vektor steht..