0 Daumen
636 Aufrufe

Guten Tacho zusammen,

ich wollte mal fragen, ob meine Rechnung stimmt.

Ich habe hier die formale Potenzreihe

f=k=0akxkf=\sum \limits_{k=0}^{\infty}a_kx^{k} und ord(f)=min(kak0)ord(f)=min({k}|a_{k}≠0)

Jetzt soll ich beweisen, dass gilt:

ord(fg)=ord(f)+ord(g)


Ich habe mich mal versucht, aber ich vermute einen Fehler:

Sei ord(f)=min(kak0) und ord(g)=min(kak0) . ord(f)=min({k}|a_{k}≠0)\text{ und }ord(g)=min(k'|a_{k'}≠0)\text{ . } Dann:

ord(f)+ord(g)=min(kak0) + min(kak0)ord(f)+ord(g)=min({k}|a_{k}≠0)\text{ + }min(k'|a_{k'}≠0)

Weiter gilt:

=min(k+kak0 und ak0)=min(k+kakak0)=ord(fg)=min(k+k'|a_{k}≠0 \text{ und } a_{k'}≠0)=min(k+k'| a_{k}a_{k'}≠0)=ord(fg)

Weiß jemand ob das richtig ist:) ?

Avatar von

Muss es nicht max statt min sein?

Wenn das Maximum endlich ist, wäre die Potenzreihe ein Polynom und dieses Maximum heißt Grad.

Ah, danke für die Info

Ja genau, das hat nichts mit dem Grad zu tun, deswegen ist es das Minimum und nicht das Maximum. Darüber bin ich auch gestolpert. Bitte entschuldigt die späte Antwort. Ich wollte jetzt was aufschreiben und es hier dann teilen.

1 Antwort

0 Daumen

Wenn f mit akxk und g mit alxl anfangen, dann fängt fg mit ak+lxk+l an.

Avatar von

Okay, es gilt:

ord(f)=min(kak0) und ord(g)=min(kak0)ord(f)=min(k|a_{k}≠0)\text{ und }ord(g)=min(k'|a_{k'}≠0)

Also:

ord(fg)=ord((k=0akxk)(k=0bkxk))ord(fg)=ord((\sum \limits_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k})(\sum \limits_{k'=0}^{\infty}b_{k}x^{k}))

Wenn wir jetzt die Summen hinschreiben und ausmultiplizieren, dann erhalten wir:

ord(k=0(i+j=kaibj)xk)=ord(a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+...)ord(\sum \limits_{k=0}^{\infty}(\sum \limits_{i+j=k}a_{i}b_{j})x^{k})=ord(a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})x^{2}+...)

Nun können wir uns das minimale k ansehen:

a0b0x0+0a_{0}b_{0}x^{0+0}

Wie soll es jetzt weiter gehen?

Ich glaube tatsächlich, dass wir jetzt fertig sind. Wenn wir f normal ausrechnen, dann haben wir x0x^{0} als minimales k, analog für g. Wenn wir also f und g multiplizieren erhalten wir x0+0x^{0+0}, also wurde gezeigt, dass ord(f*g)=ord(f)+ord(g), oder?

Nun können wir uns das minimale k ansehen:a0b0x0+0a_{0}b_{0}x^{0+0}.


aber wo ist etwas ≠ 0?

Was ist denn daran nicht zu Verstehen:

(axk+bxk+1+...)(cxl+dxl+1+...) = acxk+l+...

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage