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Hallo zusammen, ich befasse mich gerade mit der log-normal Verteilung.

Ich habe die log-likelihood Fkt L(μ,σ) aufgestellt, diese nach μ abgeleitet, null gesetzt und nach μ umgestellt:

\( \widehat{\mu}=\frac{\sum \limits_{i} \ln x_{i}}{n} \)

Dies stimmt auch nach Wikipedia.

Nun möchte ich zeigen, dass

\( \widehat{\mu} \) unbiased ist.

Kann mir hier bitte jemand helfen?


Bisher habe ich: E(μ)=(1/n)∑E(ln(yi))= E(ln(yi )) und am Ende müsste doch wieder μ herrauskommen?

Aber hier scheitere ich…


Ich wäre euch sehr dankbar über jegliche Hilfe!

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Also ich vermute, dass ich

\( \mathbb{E}(X)=\exp \left(\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}\right) \) benutzen muss und umstellen ln(E()) aber das ist ja dann auch nicht =μ

1 Antwort

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Beste Antwort

Zeige, dass \(E[\ln(X)]=\mu\) für lognormalverteilte ZV. Das geht zum Beispiel über die Dichte mittels Substitution.

Avatar von 14 k

Dankeschön schonmal:)

Also ich soll E(ln(y))= ∫ ln(y) f(ln(y)) dy bestimmten und dann soll μ herauskommen? (f ist hier die Dichte)

Das habe ich auch gemacht und auch in einen Rechner eingegeben aber es kommt nichts brauchbares raus...

Hast du substituiert?

Ja, ich habe es versucht, aber ich bekomme das y nie weg. Ich stehe gerade richtig auf dem Schlauch…IMG_1725.jpeg

Beachte \(E[g(X)]=\int\!g(x)f_X(x)\,\mathrm{d}x\). Damit kommst du dann auf die richtige Dichtefunktion, wo du im Nenner eben genau das \(y\) stehen hast, was sich dann nach der Substitution rauskürzt.

Jetzt sollte es aber richtig sein, danke! Nun habe ich: IMG_1726.jpeg


Aber solch ein Konstrukt kann man doch nicht so einfach integrieren? Gibts hier ein Trick? Ansonsten artet es ja aus… auch Rechner sind hier überfordert.

Musst du auch nicht, wenn du siehst, dass dort nun die Dichte der Normalverteilung steht und das Integral daher dem Erwartungswert der Normalverteilung entspricht.

Dankeschön!

Ich habe im gleichen Zuge dann noch die Varianz berechnet, mit dem selben Trick: Var(μ)=(1/n)² ∑Var(ln(yi))= (1/n) Var(ln(yi))= (1/n) [E(ln(y)²) - E(ln(y))² ]= (1/n) [ σ² - μ²]

Das sollte so ja stimmen?


Dann möchte ich den Cramer-Rao lower bound zeigen: Var(μΛ)≥ 1/ -E(*)

Wobei * die zweimalige Ableitung nach μ von ln(L(μ,σ)), wie in der Aufgabenstellung beschrieben. Also *=-n/σ² dies stimmt auch, habe ich in einem Skript abgeglichen.


Stelle ich nun den Cramer-Rao auf, erhalte ich: -μ²≥0 und hier stimmt ja offensichtlich was nicht.

Daher meine Frage, habe ich das mit der Varianz so richtig berechnet?

(Weil μ unbiased ist, existiert auch der Cramer-Rao)

Und E(*)=E(-n/σ²)= -n/σ² stimmt doch auch?

Die Varianz ist nicht linear wie der Erwartungswert. Es ist \(\mathrm{Var}(\alpha X)=\alpha^2\mathrm{Var}(X)\).

Genau, das habe ich auch beachtet: 1/n rausgezogen und quadriert, die Summe auch rausgezogen, die zu n wird und insgesamt erhalte ich 1/n

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