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Ist die Ungleichung korrekt? :

P(A|B) > P(A) impliziert P(B|A) > P(B)

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Benutze die Definition von P(A|B)....

Ich kenne die Definition weiß aber nicht wie ich damit zeigen kann dass das gilt oder nicht Screenshot_20240514_223732_DuckDuckGo.jpg

Text erkannt:

\( P(A \cap B)=P(A \mid B) \cdot P(B \)

Screenshot_20240514_223658_DuckDuckGo.jpg

Text erkannt:

\( P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)

Nsja dann ist doch

P(A|B)>P(A)  => P(A und B)>P(A)P(B)

Und das ist symmetrische in A und B...

Ja aber warum genau gilt das? Warum gilt zb P(A|B)>P(A)

Ich habe Deine Fragebso verstanden, dass diese Ungleichung Voraussetzung ist und die 2. Ungleichung gefolgert werden soll.

Ist etwas anderes gefragt?

Das ist richtig, ich würde aber gerne genau wissen warum ich das darauf folgern kann und warum genau ist jetzt P(A|B)>P(A)?

2 Antworten

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Wahrscheinlichkeit \(P(A\cap B)\) für das gemeinsame Eintreten der Ereignisse \(A\) und \(B\) kannst du auf folgende zwei Arten modellieren.

1) Zuerst tritt das Ereignis \(A\) mit der Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) ein. Anschließend tritt das Ereignis \(B\) mit der Wahrscheinlichkeit \(P(B|A)\) ein, da \(A\) ja bereits eingetreten ist:$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$$

2) Zuerst tritt das Ereignis \(B\) mit der Wahrscheinlichkeit \(P(B)\) ein. Anschließend tritt das Ereignis \(A\) mit der Wahrscheinlichkeit \(P(A|B)\) ein, da \(B\) ja bereits eingetreten ist:$$P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$$

Da die beiden linken Seiten der Gleichungen gleich sind, müssen auch die beiden rechten Seiten gleich sein:$$P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)\quad\implies\quad P(B|A)=\frac{P(B)}{P(A)}\cdot P(A|B)$$

Gemäß der Voruassetzung in der Aufgabenstellung ist nun:$$\pink{P(A|B)>P(A)}$$

Das setzen wir in die gerade gefundene Beziehung ein:$$P(B|A)=\frac{P(B)}{P(A)}\cdot\pink{P(A|B)}\pink>\frac{P(B)}{P(A)}\cdot\pink{P(A)}=P(B)$$

Aus \(P(A|B)>P(A)\) folgt also tatsächlich: \(P(B|A)>P(B)\).

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Verwende den Satz von Bayes:

\(P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}\)

und schätze den Nenner ab.

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Der Nenner ist größer als der Zähler. Zwischen 0 und 1

Das ist unerheblich. Verwende die Ungleichung aus der Voraussetzung.

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