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Aufgabe:

integral.PNG

Text erkannt:

Integrieren Sie über dem Dreieck mit den Eckpunkten \( (0,1),(1,2),(3,1) \) die Funktion \( f(x, y)=x \cdot y \), d.h. berechnen Sie
\( I=\iint_{G} x \cdot y \mathrm{~d} A \)


Problem/Ansatz: Wäre sehr lieb, wenn Ihr mir bitte helfen könntet, habe gar keine ahnung wie ich vorangehen soll. Habe mir das Dreieck im Koordinatensystem gezeichnet für einen Überblick.
Liebe Grüße

xyz1

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Hallo

aus deiner Zeichnung sollte doch zu sehen sein y von 0 bis 3

davor x durch die Gerade y=0,5x-0,5 begrenzt und fängt bei 1 an.

Gruß lul

Avatar von 107 k 🚀

Auch die Gerade y=x+1 ist eine Begrenzung.

warum ist y= 0 bis 3? y ist doch 1 bis 2 und x= 0 bis 3??

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\(\int\limits_a^b\int\limits_c^d ...dy\,dx\) bedeutet: \(x\) läuft von \(a\)  bis \(b\) und \(y\) von \(c\) bis \(d\). Achte genau auf die Zuordnung und Reihenfolge.

Wenn Du \(a=0, b=3\) und \(c=1, d=2\) nimmst, wird aber ein Rechteck durchlaufen, in senkrechten Streifen (mach Dir das klar). Das ist aber zuviel, wir wollen ja ein Dreieck. \(c=1\) als untere Grenze passt, aber \(d\) hängt von \(x\). Und zwar unterschiedlich für \(x\le 1\) und \(x\ge 1\).

Teile also auf:

\(\int\limits_a^b\int\limits_c^d ...dy\,dx = \int\limits_0^1\int\limits_1^{d_1} ...dy\,dx +\int\limits_1^3\int\limits_1^{d_2}...dy\,dx\). Die oberen Grenzen \(d_1,d_2\) hängen von \(x\) ab, finde dazu passende Formeln (aus Geradengleichungen).


Zur Übung berechne dasselbe Integral mit anderer Reihenfolge, also

als \(\int\limits_a^b\int\limits_c^d ...dx\,dy\), dabei wird die Fläche in waagerechten Streifen durchlaufen. Da brauchst Du keine Aufteilung. Endergebnis ist das gleiche wie bei der Variante oben.

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woher die (a=0, b=3\) und \(c=1, d=2\) und dx,dy?

Wir integrieren über eine Fläche, also Doppelintegral. Nochmal: beachte die Zuordnung - oben in der ersten Zeile meiner Antwort: äußeres Integral ist dx, inneres ist dy.

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir brauchen zunächst einen Ortsvektor \(\vec r\), der ausgehend vom Ursprung die Fläche des Dreiecks \(G\) abtastet:$$\vec r=\binom{0}{1}+s\cdot\binom{1-0}{2-1}+t\cdot\binom{3-0}{1-1}\quad;\quad s\in[0;1]\;;\;t\in[0;s]$$$$\vec r=\binom{0}{1}+s\cdot\binom{1}{1}+t\cdot\binom{3}{0}=\binom{s+3t}{1+s}\quad;\quad s\in[0;1]\;;\;t\in[0;s]$$

Die von den beiden Richtungsvektoren \(\binom{3}{0}\) und \(\binom{1}{1}\) aufgespannte Fläche erhalten wir mittels der Determinante \(\begin{vmatrix}3 & 1\\0 & 1\end{vmatrix}=3\). Damit lautet das Flächenelement in den Koordinaten \(s\) und \(t\):$$dA=3\,ds\,dt$$

Mit \((x=s+3t)\) und \((y=1+s)\) heißt das für das Integral:$$I=\int\limits_{s=0}^1\;\int\limits_{t=0}^s(s+3t)(1+s)\,3\,ds\,dt=3\int\limits_{s=0}^1\;\int\limits_{t=0}^s(s^2+3st+s+3t)\,ds\,dt$$$$\phantom I=3\int\limits_{s=0}^1\left[s^2t+\frac32st^2+st+\frac32t^2\right]_{t=0}^sds=3\int\limits_{s=0}^1\left(s^3+\frac32s^3+s^2+\frac32s^2\right)ds$$$$\phantom I=3\int\limits_{s=0}^1\left(\frac52s^3+\frac52s^2\right)ds=\frac{15}{2}\left[\frac14s^4+\frac13s^3\right]_{s=0}^1=\frac{15}{2}\cdot\frac{7}{12}=\frac{35}{8}$$

Avatar von 150 k 🚀

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