Aufgabe:
Es seien V1 und V2 Vektorräume über einem Körper K. Weisen Sie nach, dass V1×V2 mit den Operationen
(v1,v2)+(v1′,v2′)=(v1+v1′,v2+v2′),λ⋅(v1,v2)=(λ⋅v1,λ⋅v2)
für v1,v1′∈V1,v2,v2′∈V2,λ∈K einen K-Vektorraum bildet. Wir bezeichnen diesen Vektorraum mit V1⊕V2.
Problem/Ansatz:

Text erkannt:
1. Es seien V1 und V2 Vektorräume über einem Körper K. Weisen Sie nach, dass V1×V2 mit den
Operationen
für v1,v1′∈V1,v2,v2∈1
raum mit V1⊕V2.
Aufatel. 1
(i) Z: Es saien V1 und V2 Vehtanöume über inem Käper K. Viundk sind hommulatioe Gruppen
- Commbtiuiliat:
(v1,v2)+(v1′+v2′)=(v1+v1′,v2+v2′)=(v1′+v1,v2′+v2)=(v1′,v2′)+(v1,v2)
- Arioinhingeset :
(v1,v2)+(v1′,v2′)+(v3′+v4′)=(v1,v2)+((v1′,v2′)+(v3′,v4′))=((v1,v2)+(v1′,v2′))+(v3′,v4′)
- das neubale Element hifft Nulloohk
taille e1=0 und e2=0, damn forgs:
(v1,v2)+(0,0)=(v1,v2)v
- moerses Element
Wibhle −v1=1⋅v and −v2=1⋅v2. Dam folegh,
(v1,v2)+(−v1,−v2)=(v1−v1,v2−v2)=(0,0)=(e1,e2)
(i : ) z : 1⋅v=v∀v∈Vλ⋅(v1,v2)=λ=11⋅(v1,v2)=(1⋅v1,y⋅v2)=(v1,v2) (iii) 3 : c⋅(d⋅v)=(c⋅d)⋅vλ⋅((v1,v2)⋅(v1′,v2′))=(λ⋅(v1,v2))⋅(v1′,v2′) (iv) z : (c+d)⋅v=(c⋅v)+(d⋅v)λ⋅((v1,v2)+(v1′,v2′))=λ⋅(v1,v2)+λ(v1′,v2′)=(λv1,λv2)+(λv1′,λv2′)
Hallo im Anhang befindet sich schon meine Lösung. Für die Aufgabe bin ich einfach die Definition für ein Vektorraum durchgegangen, nur habe ich mich nicht wirklich auf V1+V2 fokussiert, ist mein Ansatz richtig oder fehlt etwas? Vielen Dank im Voraus.