Ist das Kartesische Produkt der Vektorräume V1 und V2 wieder ein Vektorraum?

Question

Gegeben:

Ein Körper K und die Vektorräume V1 und V2 von K

V1 x V2 = {(v1,v2) | v1 ∈ V1 und natürlich v2 ∈ V2 }

Dies soll mittels Addition         (v1,v2)+(w1,w2)=(v1+w1,v2+w2) wobei (v1,v2) und (w1,w2) ∈ V1 x V2 sind

und mittels Skalarmultiplikation   a(v1,v2) = (av1,av2) nachgewiesen werden. (oh und a ist natürlich ∈ K)

 

Als zusätzliche Aufgabe soll eine Skalarmultiplikation so definiert werden, dass ℝ zusammen mit der üblichen Addition ein ℚ-Vektorraum wird. Soll das bedeuten, dass s * beliebiges Element aus ℝ +  beliebiges Element aus ℚ ein beliebiges Element ergeben muss, welches in ℚ ist? (wobei s ebenfalls ein Element aus ℝ ist? )

Wäre das dann richtig? (Ich verwende nun mal x als das beliebige Element aus ℝ):

x^-1 * x + beliebiges Element aus ℚ

Answer 1

die erste Aufgabe ist ja ziemlich einfach und deine Lösung steht ja schon so gut wie da.

Will man R als Q-Vektorraum betrachten, so kann man zuerst beobachten, dass jedes rationale Element r aus R zusammen mit der 1 linear abhängig ist: r = q * 1, wobei q die Koordinate in Q ist. Es gilt q = r.

Die gewählte Skalarmultiplikation entspricht offenbar (trivialerweise) der üblichen Multiplikation.

Jedes irrationale Element i aus R (*) kann nun mit einem anderen irrationalen Element j aus R auf lineare Abhängigkeit überprüft werden, sprich: Existiert zu i, j aus R ein q aus Q, sodass i = q j.

Beispiel 1: \( \sqrt{2} \) und \( \sqrt{8} \) sind linear abhängig, da \( \sqrt{2} = \frac{1}{2} \sqrt{8} \) mit \( \frac{1}{2} \in Q \) gilt.

Beispiel 2: \( \sqrt{2} \) und \( \sqrt{4} \) sind linear unabhängig, da \( \sqrt{4} \neq q \sqrt{2}\ \forall q \in Q \) gilt.

MfG

Mister

PS: (*) i ist jetzt nicht die imaginäre Einheit.