Nachweis eines Wahrscheinlichkeitsmaßes

Question

Sei $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. Dabei seien $\Omega=\mathbb{R}, \mathcal{A}=\mathcal{B}$ und $P: \mathcal{A} \rightarrow \mathbb{R}$ mit
$P((-\infty, x])=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \text { falls } x \leq-1 \\ \frac{x+1}{2}, & \text { falls } x \in(-1,1] \\ 1, & \text { falls } x>1 . \end{array}\right.$

Hierbei bezeichnet $\mathcal{B}$ die Borel'sche $\sigma$-Algebra.
a) Begründe, dass obige Angaben ein Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ auf $\mathcal{A}$ eindeutig festlegen.
Das bedeutet, dass es genau ein $P$ mit dieser Eigenschaft gibt.
Hinweis: Betrachte die Zufallsvariable $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ mit $X(\omega)=\omega$ (Identität). Man kann über die Verteilung von $X$ argumentieren.

Inwiefern hilft hier dieser Hinweis? Ich hätte die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion nachgewiesen und ausgenutzt, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß eindeutig durch die Verteilungsfunktion  bestimmt ist.

Answer 1

Ich hätte die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion nachgewiesen und ausgenutzt, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß eindeutig durch die Verteilungsfunktion bestimmt ist.

OK. Dann brauchst du ja nur noch zeigen, dass

        $F_X: \mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto P((-\infty,x])$

eine Verteilungsfunktion ist.

Inwiefern hilft hier dieser Hinweis?

$P$ ist keine Verteilungsfunktion, sondern Wahrscheinlichkeitsmaß. Deshalb der Umweg über die Zufallsvariable.