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Sei (Ω,A,P) (\Omega, \mathcal{A}, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Dabei seien Ω=R,A=B \Omega=\mathbb{R}, \mathcal{A}=\mathcal{B} und P : AR P: \mathcal{A} \rightarrow \mathbb{R} mit
P((,x])={0, falls x1x+12, falls x(1,1]1, falls x>1. P((-\infty, x])=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \text { falls } x \leq-1 \\ \frac{x+1}{2}, & \text { falls } x \in(-1,1] \\ 1, & \text { falls } x>1 . \end{array}\right.

Hierbei bezeichnet B \mathcal{B} die Borel'sche σ \sigma -Algebra.
a) Begründe, dass obige Angaben ein Wahrscheinlichkeitsmaß P P auf A \mathcal{A} eindeutig festlegen.
Das bedeutet, dass es genau ein P P mit dieser Eigenschaft gibt.
Hinweis: Betrachte die Zufallsvariable X : ΩR X: \Omega \rightarrow \mathbb{R} mit X(ω)=ω X(\omega)=\omega (Identität). Man kann über die Verteilung von X X argumentieren.

Inwiefern hilft hier dieser Hinweis? Ich hätte die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion nachgewiesen und ausgenutzt, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß eindeutig durch die Verteilungsfunktion  bestimmt ist.

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Ich hätte die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion nachgewiesen und ausgenutzt, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß eindeutig durch die Verteilungsfunktion bestimmt ist.

OK. Dann brauchst du ja nur noch zeigen, dass

        FX : RR,xP((,x])F_X: \mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto P((-\infty,x])

eine Verteilungsfunktion ist.

Inwiefern hilft hier dieser Hinweis?

PP ist keine Verteilungsfunktion, sondern Wahrscheinlichkeitsmaß. Deshalb der Umweg über die Zufallsvariable.

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