Nachweis eines Wahrscheinlichkeitsmaßes

Question

Sei \( (\Omega, \mathcal{A}, P) \) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Dabei seien \( \Omega=\mathbb{R}, \mathcal{A}=\mathcal{B} \) und \( P: \mathcal{A} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( P((-\infty, x])=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \text { falls } x \leq-1 \\ \frac{x+1}{2}, & \text { falls } x \in(-1,1] \\ 1, & \text { falls } x>1 . \end{array}\right. \)

Hierbei bezeichnet \( \mathcal{B} \) die Borel'sche \( \sigma \)-Algebra.
a) Begründe, dass obige Angaben ein Wahrscheinlichkeitsmaß \( P \) auf \( \mathcal{A} \) eindeutig festlegen.
Das bedeutet, dass es genau ein \( P \) mit dieser Eigenschaft gibt.
Hinweis: Betrachte die Zufallsvariable \( X: \Omega \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( X(\omega)=\omega \) (Identität). Man kann über die Verteilung von \( X \) argumentieren.

Inwiefern hilft hier dieser Hinweis? Ich hätte die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion nachgewiesen und ausgenutzt, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß eindeutig durch die Verteilungsfunktion  bestimmt ist.

Answer 1

Ich hätte die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion nachgewiesen und ausgenutzt, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß eindeutig durch die Verteilungsfunktion bestimmt ist.

OK. Dann brauchst du ja nur noch zeigen, dass

        \(F_X: \mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto P((-\infty,x])\)

eine Verteilungsfunktion ist.

Inwiefern hilft hier dieser Hinweis?

\(P\) ist keine Verteilungsfunktion, sondern Wahrscheinlichkeitsmaß. Deshalb der Umweg über die Zufallsvariable.