Für welche a ∈ ℝ konvergiert die Reihe Σn=1∞{n} \ √[n]{x} -1)?

Question

Aufgabe:

Für welche a ∈ ℝ konvergiert die Reihe $\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\sqrt[k]{a}-1}$

Problem/Ansatz:

Hallo lieber Mathelounge,

ich komme bei einer aktuellen Aufgabe meiner Mathevorlesung nicht weiter:

Für welche a ∈ ℝ konvergiert die Reihe$\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\sqrt[k]{a}-1}$?

Angegeben ist noch der Tip, dass eine Fallunterscheidung für a ∈ ℝ+ mit $\frac{r}{n}$ < $\sqrt[n]{a}$ -1 bzw. $\frac{r}{n}$ > $\sqrt[n]{a}$ -1 und (1+$\frac{r}{n}$)^n -> $e^{r}$ für n → ∞ gilt und der dritte Fall nicht vergessen werden soll.

Es ist klar, dass das für a = 1 der Fall ist, aber für den Rest komme ich einfach nicht weiter. Auch, ob ich die ganze Sache auch für a < 0 betrachten soll, ist mir vollkommen unklar :(

Ich würde mich sehr sowohl über Lösungen als auch Ansätze freuen...

Viele Grüße!

Comments

lim a^(1/k) = 1 für |a|<1 und k ->oo

Answer 1

Hallo,

vielleicht geht es so:

Für $a>1$ ist

$$\sqrt[k]{a}-1=\exp(\frac{1}{k}\ln(a))-1=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m!}\frac{1}{k^m}(\ln(a)^m)\geq \frac{\ln(a)}{k}$$

(Abschätzung durch den ersten Summanden, weil alle Summanden positiv sind.) Damit hätten wir eine divergente Majorante.

Für $a \in (0,1)$ ist der Summand negativ, wir betrachten

$$1-\sqrt[k]{a}=(\sqrt[k]\frac{1}{a}-1)\sqrt[k]{a}\geq (\sqrt[k]\frac{1}{a}-1)a$$

und hätten nach dem Vorigen ebenfalls eine divergente Minorante.