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Aufgabe:Es sei \( V \) ein Vektorraum über einem Körper \( K \) mit \( \operatorname{dim} V=2 n \) für \( n \in \mathbb{N} \).
1. Gegeben sei ein \( n \)-dimensionaler Untervektorraum \( U_{1} \subseteq V \). Es sei \( U_{2} \subseteq V \) ein Komplement von \( U_{1} \) in \( V \). Zeigen Sie, dass es einen Untervektorraum \( U_{3} \subseteq V \) gibt, der sowohl zu \( U_{1} \) als auch zu \( U_{2} \) komplementär ist.
2. Es sei \( U_{1} \subseteq V \) ein Untervektorraum mit \( \operatorname{dim} U_{1} \neq n \), und es seien \( U_{2}, U_{3} \subseteq V \) zwei Komplemente zu \( U_{1} \) in \( V \). Zeigen Sie, dass \( U_{3} \) kein Komplement zu \( U_{2} \) in \( V \) ist. (Hinweis: Betrachten Sie die Dimensionen der Vektorräume \( U_{2} \) und \( \left.U_{3}.\right) \)


Problem/Ansatz: Kann mir bitte jemand hier weiterhelfen, ich brauche dringende Hilfe.

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Zur a): Nimm mal (sehr ungentlemanlike) eine Basis \((v_1,\ldots,v_n),(w_1,\ldots,w_n)\) von jeweils \(U_1,U_2\). Dass \(U_1,U_2\) Komplemente zueinander sind bedeutet genau, dass \((v_1,\ldots,v_n,w_1,\ldots,w_n)\) eine Basis von \(V\) ist. Nach dem Weißnichtwiederheißtsatz ist jetzt auch \((v_1,\ldots,v_n,w_1+v_1,\ldots,w_n+v_n)\) eine Basis von \(V\). Also ist \(U_3=\mathrm{Span}(w_1+v_1,\ldots,w_n+v_n)\) ein Komplement von \(U_1\). Wenn du das genau andersrum machst, siehst du, dass \(U_3\) auch ein Komplement zu \(U_2\) ist.


b) Zwei Komplemente \(U_2,U_3\) des gleichen Unterraums \(U_1\) müssen gleiche Dimension haben, nämlich irgendein \(k\neq n\), da ja \(k=2n-\mathrm{dim}(U_1)\) gelten muss. Jetzt gucken wir uns mal die zwei Eigenschaften des Komplements an:

1. Es gilt \(U_2\cap U_3=\emptyset\)?

2. Es gilt \(U_2+U_3=V\)?

Jetzt mach mal die Fallunterscheidung \(\mathrm{dim}(U_1)\lessgtr n\). Du siehst, dass im ersten Fall das eine, im zweiten Fall das andere kaputtgehen wird.

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