entwickeln Sie die Funktion f(x) in eine Potenzreihe

Question

Entwickeln Sie die Funktion
\(f(x) = -\frac{1}{(x - 1)^2 (x - 2)} \)
in eine Potenzreihe.

Comments

1) Um welchen Entwicklungspunkt geht es?

2) Du kannst eine Taylor-Entwicklung versuchen (mit Ableitungen und so ...)

3) Partialbruchzerlegung, dann Entwicklung für die einzelnen Brüche

Was hast du schon probiert?

Answer 1

Ich würde mit einer einfachen Partialbruchzerlegung anfangen

f(x) = -1/((x - 1)^2·(2 - x)) = 1/(x - 2) - 1/(x - 1)^2 - 1/(x - 1)

Jetzt die n. Ableitung der Funktion bilden und damit die Taylor-Reihe aufstellen.

Aber fang zuerst mal mit der Partialbruchzerlegung an, ob du auf meine Form kommst.

Comments

Ich habe so gemacht, wie Sie gesagt haben, und das Ergebnis gefunden.

\(f(x) = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^{n+1}} + \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n + \sum_{n=0}^{\infty} x^n \)

Answer 2

Die Potenzreihe ist eine Taylorreihe.