Potenzreihe ist für x = −1 absolut konvergent und für x = 2 divergent. Konvergenzradius?

Question

Von der Potenzreihe

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k} \)

sei bekannt, dass sie für x = −1 absolut konvergiert und für x = 2 divergiert.

Konvergiert die Potenzreihe für x = 1?

Begründen Sie eine Ihre Entscheidung.

Geben Sie ein möglichst kleines Intervall an, in dem der Konvergenzradius mit Sicherheit liegt.

Answer 1

Die Reihe konvergiert bei x=1 nach Def. der absoluten Konvergenz. Der konvergenzradius liegt in [1,2].

Comments

Den Konvergenzradius verstehe ich, ergibt ja auch Sinn bei x=1 aber wie begründest du das, dass x=1 ist

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Leider verstehe ich deinen letzten Kommentar nicht. Der Entwicklungspunkt ist 0. Bei 2 ist die Potenzreihe nicht konvergent, damit ist der Konvergenzradius $$ \leq |0-2|=2$$. Da die Reihe bei -1 konvergiert ist der Konvergenzradius §§\geq |0-(-1)|=1$$. Dass esjeweils ..-gleich ist kommt daher, dass wir keine Aussagen bzgl. Konvergenz auf dem Rand der Konvergenzscheibe machen können.