Konvexität bzw Konkavität bestimmen

Question

Sei f:(0,∞) -->R f(x)= x^-a*e^x mit a∈ℝ. Ich möchte bestimmen wo die Funktion konvex bzw konkav ist. Die 2 Ableitung ist: a²*x^(-a-2)*e^(x)+a*x^-(a-2)*e^(x)-2ax^(-a-1)*e^(x)+x^(-a)*e^(x). Ich muss halt bestimmen ob diese Ableitung kleiner oder größer gleich 0 ist. Soll ich anhand simplen Einsetzens von Werten für "a" es überprüfen? Bzgl umformen kommt man auch nicht wirklich weiter. Bzgl Fallunterscheidung, wenn x größer oder kleiner als a ist komm ich auch auf keinen grünen Zweig.

Comments

Die Ableitung kannst du hier überprüfen:

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 1

Wenn man mit Exponentialfunktionen dieser Form hantiert, sollte man den Exponentialterm immer (!) ausklammrnern. Damit ergibt sich dann ein Produkt, wo man mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt die Nullstellen bestimmen kann. Dann ist die Entscheidung, wo die Funktionswerte positiv oder negativ sind, ein Kinderspiel. Auch im Hinblick auf Fallunterscheiden.

Deine Aufgabe: Klammere $\mathrm{e}^x$ aus, so dass du ein entsprechendes Produkt erhältst.

Comments

Ist der Ausdruck in der Klammer ein quadratischer Ausdruck etwa?

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Vergleiche: https://www.wolframalpha.com/input?i=d%5E2%2Fdx%5E2+x%5E%28-a%29e%5E…

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Klammere $\mathrm{e}^x$ aus, so dass du ein entsprechendes Produkt erhältst

Man klammert gewöhnlich maximal aus. Da geht noch mehr.

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Ja das sind genau meine Nullstellen. Uns interessiert daher der Fall a<0, da das der Fall ist wo es reelle Nullstellen gibt

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Man klammert gewöhnlich maximal aus. Da geht noch mehr.

Etwas anderes habe ich auch nicht behauptet. Mit dem e-Term anzufangen wäre aber erstmal sinnvoll.

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Ich hab jetzt 3 Intervalle (0, x_1), (x_1 x_2), (x_2,∞) , reicht es wenn ich pro Intervall einen konkreten Punkt mir nehme und zeige, dass dort f´´ positiv bzw. negativ ist?

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Wenn die Funktion dort stetig ist, reicht das (Zwischenwertsatz).

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Mir ist zwar klar was der ZWS aussagt, aber wieso gibt er mir eine Aussage bzgl Konvexität bzw. Konkavität

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Das reicht, um in den Intervallen nur einen konkreten Punkt zu prüfen.

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Ähm, könntest du das genauer erklären. Ist mir nicht ganz klar

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Wenn die Funktion auf einem Intervall $[a;b]$ stetig ist und bspw. f(x) > 0 für $x \in [a;b]$, dann weiß man, dass f(x) >0 auf ganz $[a;b]$.

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Soll bzw. kann ich auch ein konkreten Wert für a wählen?

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Obigen Hinweis musst Du für f'' lesen - um dessen Vorzeichen geht es ja.

Wähle also in jedem Intervall, in dem f'' einheitlich <0 oder >0 ist, eine beliebige Stelle x und prüfe dort das Vorzeichen von f''(x). Dieses Vorzeichen gilt dann im gesamten Intervall, und damit dort auch die entsprechende Krümmung.

Answer 2

Aloha :)

Über das Krümmungsverhalten der Funktion$$f(x)=x^{-a}\cdot e^x\quad;\quad x\in\mathbb R^+\;;\;a\in\mathbb R$$gibt das Vorzeichen der 2. Ableitung Auskunft. Die 1. Ableitung folgt mit der Produktregel:$$f'(x)=\left(\underbrace{x^{-a}}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}\right)'=\underbrace{-ax^{-a-1}}_{=u'}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}+\underbrace{x^{-a}}_{=u}\cdot \underbrace{e^x}_{=v'}=\left(-ax^{-a-1}+x^{-a}\right)\cdot e^x$$Bei der 2. Ableitung hilft ebenfalls die Produktregel:$$f''(x)=\left(\underbrace{\left(-ax^{-a-1}+x^{-a}\right)}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}\right)'$$$$\phantom{f''(x)}=\underbrace{\red{\left(-a(-a-1)x^{-a-2}-ax^{-a-1}\right)}}_{=u'}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}+\underbrace{\green{\left(-ax^{-a-1}+x^{-a}\right)}}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v'}$$$$\phantom{f''(x)}=\left(\red{a^2x^{-a-2}+ax^{-a-2}-ax^{-a-1}}\green{-ax^{-a-1}+x^{-a}}\right)\cdot e^x$$$$\phantom{f''(x)}=\left(a^2\blue{x^{-a-2}}+a\blue{x^{-a-2}}-2a\cdot \underbrace{x\cdot\blue{x^{-a-2}}}_{=x^{-a-1}}+\underbrace{x^2\cdot\blue{x^{-a-2}}}_{=x^a}\right)\cdot e^x$$$$\phantom{f''(x)}=(\pink{a^2}+a\pink{-2ax+x^2})\cdot\blue{x^{-a-2}}\cdot e^x$$$$f''(x)=\frac{\pink{(x-a)^2}+a}{\blue{x^{a+2}}}\cdot e^x$$

Da die Exponentialfunktion stets positiv ist und wegen $x>0$ auch der Nenner $x^{a+2}$ stets positiv ist, ist das Vorzeichen der zweiten Ableitung gleich dem Vorzeichen des Zählers.

1. Fall: Konkavität

Die zweite Ableitung muss nicht-positiv sein, d.h.$$(x-a)^2+a\le0$$Da Quadartzahlen stets $\ge0$ sind, kann diese Forderung nur für $a\le0$ erfüllt werden:$$(x-a)^2\le-a\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x-a\le\phantom-\sqrt{-a}\implies x\le a+\sqrt{-a}\\[1ex]x-a\ge-\sqrt{-a}\implies x\ge a-\sqrt{-a}\end{array}\right\}\Longleftrightarrow$$$$x\in\left[a-\sqrt{-a}\big|a+\sqrt{-a}\right]\quad\text{für }a\le0$$

2. Fall: Konvexität

Hier müssen wir nach den Berechnungen zum 1. Fall nicht mehr viel tun und können das Ergebnis direkt angeben. Die Funktion ist konvex, falls gilt:$$a\ge0\quad\lor\quad \left(a<0\;\land\;x\le a-\sqrt{-a}\right)\quad\lor\quad \left(a<0\;\land\;x\ge a+\sqrt{-a}\right)$$