Berechnen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit in den ersten 8 Sekunden in km/h!

Question

Aufgabe:

Die Geschwindigkeit eines Autos wird durch die Funktion f mit
f(x) = −0,3x2 + 6x modelliert, x in Sekunden mit 0 ≤ x ≤ 12, f(x) in m/sec.

a. Berechnen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit in den ersten 8 Sekunden in km/h!

Problem/Ansatz:

ich hätte jz einfach die Steigung zwischen den punkten mit x=0 und x=8 berechnet, aber die Lösung zeigt eine andere undzwar wird das in der Lösung mit integral und Mittelwert gefragt, aber es ist doch nt nach den bestand gefragt warum sollte man das integral nutzen?

Comments

ich hätte jz einfach die Steigung zwischen den punkten mit x=0 und x=8 berechnet

Damit berechnest du die mittlere Beschleunigung.

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die mittlere Beschleunigung würd ich doch nur berechnen wenn ich hiervon die Ableitung nehme und dann erst die durchnittliche Teilung zwischen zwei punkten berechne oder nicht?

Answer 1

Die Fläche unter dem Graphen ist das Maß für den zurückgelegten Weg.

s(t) =∫v/t) dt, weil umgekehrt die Ableitung von s(t)  zu v(t) führt.

Da gilt v = s/t führt das Integral zur Lösung.

Die Ableitung v'(t) wäre die Momentanbeschleunigung im Punkt f.

Es gilt: v'(t) = a(t)

Answer 2

Die Geschwindigkeit eines Autos wird durch die Funktion f mit f(x) = −0,3x² + 6x modelliert, x in Sekunden mit 0 ≤ x ≤ 12, f(x) in m/s.

a) Berechnen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit in den ersten 8 Sekunden in km/h!

Es ist hier nach dem mittleren Funktionswert gefragt und auch dafür nutzt man die Stammfunktion.

f(x) = - 0.3·x² + 6·x

F(x) = 3·x² - 0.1·x³

$$\overline y = \frac{F(8) - F(0)}{8 - 0} = \frac{140.8 - 0}{8 - 0} = \frac{140.8}{8} = 17.6 ~ \frac{m}{s} = 63.36 ~ \frac{km}{h}$$