Bestimmen Sie eine Parameterform und eine Koordinatenform dieser Ebene.

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Geraden

$g_{1}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+\sigma\left(\begin{array}{c}-5 \\ 4 \\ 0\end{array}\right)$ und

$g_{2}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{c}0 \\ 6 \\ -5\end{array}\right)$.

Die Ebene $E$ habe die Eigenschaft, dass $g_{1}$ auf $E$ liegt und $g_{2}$ parallel zu $E$ verläuft. Bestimmen Sie eine Parameterform und eine Koordinatenform dieser Ebene. Bestimmen Sie ferner den Schnittwinkel zwischen $E$ und der Geraden

$g_{3}:=\vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 4 \\ 9\end{array}\right)+\tau\left(\begin{array}{l}4 \\ 5 \\ 6\end{array}\right)$

Problem/Ansatz:

was mich höchst verwirrt ist wie ich die Parameter form wie auch die Koordinaten form aufstelle und wie genau die angaben dass sie parallel verlaufen und auf E liegt mir helfen soll. ich hab leider keinen Ansatz. ich wüsste wie ich den Winkel berechne berechne nur leider scheiterts an der Aufgabe zuvor. könnte wer helfen?

Answer 1

Parameterform von E

E: X = [1, 0, 0] + r·[-5, 4, 0] + s·[0, 6, -5]

Koordinatenform von E

k·n = [-5, 4, 0] ⨯ [0, 6, -5] = -5·[4, 5, 6]

E: 4·x + 5·y + 6·z = 4

Schnittwinkel

Na der beträgt sicher ohne jegliche Rechnung 90 Grad, oder nicht?

Comments

in weicher hinsicht wurde beachtet dass g1 auf E liegt und g2 parallel ist oder kann man das außen vor lassen?

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Natürlich kann man nichts außen vor lassen. Wenn g in der Ebene liegt ist der Stützvektor von g ein Stützvektor der Ebene und der Richtungsvektor von g ein Spannvektor von E.

Wenn g2 parallel zu E liegt kann man den Richtungsvektor von g2 als zweiten Spannvektor benutzen.

Lass dir das mal von Geogebra fürs eigene Verständnis skizzieren.

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Text erkannt:

$\begin{aligned} & \left.G(E, g 3)=\frac{\pi}{2}-\arccos \left(\frac{\left(\begin{array}{l}4 \\ 5 \\ 6\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}4 \\ 5 \\ 6\end{array}\right)}{\left(\left.\binom{4}{6} \right\rvert\,\binom{ 4}{6}\right.}\right) \right\rvert\, \\ = & \left.\frac{\pi}{2}-\arccos \left(\left\lvert\, \frac{16+25+36}{\sqrt{16+25+36} \sqrt{16+25}+36}\right.\right)\right) \\ = & \frac{\pi}{2}-\arccos \left(\left|\frac{77}{\sqrt{77} \sqrt{77}}\right|\right) \\ = & \frac{\pi}{2}-\arccos \left(\frac{77}{77}\right) \\ = & \frac{\pi}{2}-\arccos (1)\end{aligned}$

aber ja hab dann pi/2 raus. Vielen Dank Ihnen!