Differentialrechnung- Umkehraufgabe (Skisprunganlage)

Question

Aufgabe:

Der Aufsprunghang der Schanze kann durch die Funktion f(x) bestimmt werden: f(x)=1/8000*x^3-9/400*x^2+108
x…horizontale Entfernung in m
f(x)… Höhe des Hanges in m
Die Flugkurve eines Skispringers wird durch die Funktion g(x) bestimmt werden:
g(x)=-0,02x^2+0,58x+109,6
x…horizontale Entfernung in m
f(x)… Höhe des Springers in m
(Hinweise: Der Absprung des Springers erfolgt bei x = 0)
d) Die steilste Stelle des Aufsprunghange wird als „kritischer Punkt" bzw. K-Punkt bezeichnet.
Berechne die Koordinaten dieses Punktes.
e) Bestimme das durchschnittliche Gefälle des Aufsprunghanges im Bereich [ 20 / 80 ] und interpretiere den Wert im gegebenen Sachzusammenhang.
f) Bestimme den Absprungwinkel des Schispringers im Punkt P(0/109,6).
g) Berechne die Koordinaten des höchsten Punkts der Flugkurve des Springers.

Problem/Ansatz:

hat irgendwer die Lösungen hierzu?

Answer 1

d) Berechne die Wendestelle mit dem steilsten Gefälle (Minimalstelle von \(f'\)) von \(f\).

e) Berechne den Differenzenquotienten in diesem Intervall für die Funktion \(f\).

f) Bestimme die Steigung \(m\) von \(g\) an der Stelle \(x=0\) über die erste Ableitung. Dann gilt \(\alpha=\tan^{-1}(m)\).

g) Bestimme den Hochpunkt von \(g\).

Answer 2

d) Die steilste Stelle des Aufsprunghange wird als „kritischer Punkt" bzw. K-Punkt bezeichnet. Berechne die Koordinaten dieses Punktes.

f''(x) = 3/4000·x - 9/200 = 0 → x = 60
f(60) = 54 → K(60 | 54)

e) Bestimme das durchschnittliche Gefälle des Aufsprunghanges im Bereich [20 ; 80] und interpretiere den Wert im gegebenen Sachzusammenhang.

m[20; 80] = (f(80) - f(20))/(80 - 20) = -1.2 = -120%

f) Bestimme den Absprungwinkel des Schispringers im Punkt P(0 | 109.6).

g'(0) = 0.58
α = arctan(0.58) = 30.11°

g) Berechne die Koordinaten des höchsten Punkts der Flugkurve des Springers.

g'(x) = 0 → x = 14.5
g(14.5) = 113.8 → HP(14.5 | 113.8)