Differentialrechnung: Untersuchung einer Funktion

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie von der Funktion f(x) = xe^-x  das Monotonie- und Krümmungsverhalten sowie das Verhalten im Unendlichen. Geben Sie Wendepunkte und Extrempunkte von f(x) an.

Problem/Ansatz:

könnte mir einer weiterhelfen bei dieser Aufgabe?

Comments

Hallo,

wo genau hast du Schwierigkeiten: Bestimmung der Extrempunkte, der Wendepunkte, Monotonieverhalten oder Krümmungsverhalten, Grenzwerte?

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Krümmungsverhalten und Grenzwert am meistens

Answer 1

Untersuchen Sie von der Funktion f(x) = xe-x  das Monotonie- und Krümmungsverhalten sowie das Verhalten im Unendlichen. Geben Sie Wendepunkte und Extrempunkte von f(x) an.

f ( x ) = x * e^(-x)

f ´( x = 1 * e^(-x)  + x * e^(-x)  * -1
f ´( x ) = e^(-x) * ( 1 - x )

f ´´ ( x ) = e^(-x) * ( x - 2 )

Stellen mit waagerechter Tangente
e^(-x) * ( 1 - x ) = 0
Satz vom Nullprodukt
e^(-x) = 0 keine Lösung
1- x = 0
x = 1
f ( 1 ) = 1 * e^(-1) = e^(-1)
( 1 | e^(-1) ) oder ( 1 | 0.368 )

Einsetzen in die 2.Ableitung
f ´´ ( 1 ) = e^(-1) * ( 1 - 2 )
f ´´ ( 1 ) = e^(-1) * -1
f  ´´ ( 1 ) = - 1/e ( negativ ) = Rechtskrümmung
Der Punkt ist ein Hochpunkt.
H ( 1 | e^(-1) )
Monotonie : bis x = 1 steigend dann fallend.

Krümmung
f ´´ ( x ) = e^(-x) * ( x - 2 ) = 0
Wendepunkt
e^(-x) * ( x - 2 ) = 0
x = 2
f ( 2 ) = 2 * e^(-2)
W ( 2 | 2 / e² )

Linkskrümmng
f ´´ ( x ) > 0
e^(-x) * ( x - 2 ) > 0
e^(-x)  ist stets > 0
x - 2 > 0
x > 2
Ab x > 2 ist die Funktion linksgekrümmt
Bei x < 2 rechtsgekrümmt

Verhalten im Unendlichen
lim x -> -∞ [ x * e^(-x) ] = -∞ * ∞ = - ∞

lim x -> ∞ [ x * e^(-x) ] = ∞ * 0
für l´hospital umformen
x / ( 1 / e^(-x) ) = 0 / 0
x / e^x
x ´/ ( e^x ) ´
1 / e^x = 1 / ∞ = 0

Answer 2

Dann zunächst das Krümmungsverhalten:

Wenn f''(0) < 0 in einem Intervall I  ⇒ Der Graph von f ist in I rechtsgekrümmt

Wenn f''(x) > 0 in einem Intervall I ⇒ Der Graph von f ist in I linksgekrümmt

Wendestellen sind Stellen (x-Werte), an denen der Graph einer Funktion seine Krümmung wechselt

Hilft dir das weiter?

Grenzverhalten:

Du betrachtest x mit dem höchsten Exponenten und den entsprechenden Koeffizienten, also bei

f(x) = 2x³ + 4x² -6x

interessiert dich 2x³

allgemein geschrieben: f(x) = axⁿ

^{$$\text{Wenn }a >0:\\ \text{n gerade: }\quad \lim\limits_{x\to\infty}=\infty\qquad \lim\limits_{x\to-\infty}=\infty\\ \text{n ungerade:}\quad \lim\limits_{x\to\infty}=\infty\qquad \lim\limits_{x\to-\infty}=-\infty\\ \text{Wenn a<0:}\\ \text{n gerade:}\quad \lim\limits_{x\to\infty}=-\infty\qquad \lim\limits_{x\to-\infty}=-\infty\\ \text{n ungerade:}\quad \lim\limits_{x\to\infty}=-\infty\qquad \lim\limits_{x\to-\infty}=\infty$$}

^{Melde dich, wenn du dazu noch Fragen hast.}

^{Gruß, Silvia}