Nilpotente Matrix und dessen Eigenwerte

Question

Eine nilpotente Matrix hat ja nur den Eigenwert 0, denn sei A nilpotent, so gibts ein p: A^p = 0 und A^p-1 ≠ 0, sodass wenn λ dann ein EW ist, das dann zu einem Eigenvektor v ≠ 0: Av = λv gilt. Auf beiden Seiten A^p-1 multiplizieren liefert: A^p v = λ A^p-1 v <=> λ A^p-1 v = 0, da A^p = 0 ist. Da A^p-1 und v ≠ 0 ist, folgt dann λ = 0.

Die Frage ist, wie kann man zeigen, das das charakteristische Polynom dann die Form

(-1)^n x^n, hat ?

Answer 1

Mit dem \( (-1)^n \) kenne ich das nicht. Das charakteristische Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren. Und da 0 einziger Eigenwert ist, muss \( \chi_A=( \lambda - 0)^n \) sein.

Comments

Ja ich glaub das soll

einfach was allgemeineres sein.

Ich hätte eine weitere Frage, wenns für dich in Ordnung ist:

Wenn eine Matrix A nilpotent ist, also es eine natürliche Zahl gibt mit A^p = 0, ist sie dann auch nilpotent in der Ordnung p, sprich gilt dann auch A^p-1 ≠ 0 ?

Weil die Nullmatrix z.B. ist ja für jedes p, nilpotent, aber sie kann ja nicht in der Ordnung p nilpotent sein, da es kein p gibt sodass 0^p-1 ≠ 0 ist. Oder irre ich mich?

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Die Def. von char. Polynom ist nicht einheitlich: Manche definieren es als \(\det (A-xI)\), manche als \(\det (xI-A)\). Das ändert an EWen und Vielfachheiten nichts, aber an der Gestalt des Polynoms, eben der Faktor \((-1)^n\). Das muss man auch bei der Benutzung von Software zur Bestimmung des char. Polynoms beachten.

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Ich hätte ein Beweis dazu. Jetzt erstmal 0 ist der einzige Eigenwert. Da das charakteristische Polynom zerfällt, ist die Matrix trigonalisierbar, d.h. es gibt eine inv. Matrix T mit T^-1 A T = N, wobei N eine obere Dreiecksmatrix ist.

Dann ist das charakteristische Polynom von A, das charakteristische Polynom von der oberen Dreiecksmatrix N. Da diese obere Dreiecksmatrix ihre Eigenwerte in der Diagonalen hat und die Eigenwerte von N wegen der Gleichheit der Polynome, die Eigenwerte von A sind, welche ja 0 sind, ist die Diagonale von N also von 0en belegt.

Die Determinante von N-tE ist dann (-t)^n, was ja das charakteristische Polynom von N und damit auch A ist.

Richtig?

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Einen Beweis wozu? Dass das char. Polynom die Form \((-1)^nx^n\) hat, folgt direkt daraus, dass \(A\) nur den EW 0 hat. Weil aus \(Ax=\lambda x\) durch Anwenden von \(A^p\) folgt \(\lambda^p=0\).

Das char. Polynom zerfällt in \(\mathbb{C}\) immer in Linearfaktoren entsprechend der EWe, damit ist doch alles klar.

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Wenn eine Matrix A nilpotent ist, also es eine natürliche Zahl gibt mit A^p = 0, ist sie dann auch nilpotent in der Ordnung p, sprich gilt dann auch A^(p-1) ≠ 0 ?

Das ist doch gerade die Definition. Bzw. man nennt \( p \) ja auch den Nilpotenzgrad. Die Nullmatrix hat den Nilpotenzgrad 1.

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Alles klar. Jetzt habe ich es verstanden. Danke euch beiden!