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Ich habe die folgende Aufgabe:

Es sei \(A \in\mathbb{C}^{(n,n)}\), \(n\in\mathbb{N}\)

a) Es sei n=2 und A besitze zwei verschiedene Eigenwerte \(\lambda_{1},\lambda_{2}\in\mathbb{C}\). Weiter sei \(v_{1}\) ein Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda_{1}\). Zeigen Sie, dass \((A-\lambda_{1}\mathbb{1}_{2})v\) ein Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda_{2}\) genau dann ist, wenn \(v\notin span(v_{1})\).

b) Zeigen Sie, dass Null einziger Eigenwertvon A ist, wenn A eine nilpotente Matrix ist (d.h. \(\exists k\in\mathbb{N}: A^{k}=0\)

Bei der a) fehlt mir leider der Ansatz.

Bei der b) habe ich Folgendes:

\(A^{k}v=\lambda^kv\)

\(\exists k\in\mathbb{N}: A^k=0\Rightarrow A^k=\lambda^kv\Rightarrow0v=\lambda^kv\)

\(v\neq 0 \Rightarrow \lambda^k=0 \Rightarrow \lambda=0\)

Danke.

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Die \(1_2\) meint natürlich die Einheitsmatrix im \(\mathbb{R}^{(2,2)}\)

Also ich habe so meine Probleme mit der Formulierung der Aufgabe:
(A-Lambda1*I)v soll ein Eigenvektor von Lambda2 sein?

Ja, korrekt. Es kann sein, dass sich die Aufgabensteller auf die vorherige Teilaufgabe beziehen: https://www.mathelounge.de/203502/eigenvektor-und-eigenwert#c203577

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Die Behauptung (a) ist doch falsch: nimm A =\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \) , dann sind e1 und e2 Eigenvektoren, aber z.B. e1+2e2 nicht.

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