Definition von gemischten Ableitung 2. Ordnung mittels Differentialquotient

Question

Seien (x_0,y_0)∈R². Also ich wollte nur wissen, ob meine Definition bzgl. der gemsichten Ableitung 2. Ordnung korrekt sind:

∂² f/∂x∂y (x_0,y_0) = lim_(h-->0) (∂f/∂x (x_0, y_0+h) - ∂f/∂x (x_0,y_0))/h

∂² f/∂y∂x (x_0,y_0) =lim_(h-->0) (∂f/∂y (x_0+h,y_0)-∂f/∂y (x_0,y_0))/h.

Answer 1

Ja, das passt fast so, du hast die Reihenfolge beim Ableiten nur vertauscht. Vom Prinzip her ist die Definition aber richtig. Eine partielle Ableitung nach $x_j$ lässt sich analog zum eindimensionalen Fall mit Hilfe des Differentialquotienten definieren, indem man die Variable $x_j$ linearisiert, also in dieser Variablen die Differenz im Zähler bildet. Bei den gemischten Ableitungen wird diese Definition dann lediglich auf die Funktion $f_x$ bzw. $f_y$ angewendet.

Comments

Ja, das passt so

wenn du nämlich meine und Ts Erläuterungen hier für falsch hältst.

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Stimmt, du hast Recht. Das habe ich tatsächlich übersehen.

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Ok, also das erste bedeutet ja nach x und dann nach y abgeleitet: ∂² f/∂x∂y (x_0,y_0) = lim_(h-->0 (∂f/∂y (x_0+h,y_0)-∂f/∂y (x_0,y_0))/h

Und beim zweiten dann zuerst nach y, dann nach x abgeleitet ∂² f/∂y∂x (x_0,y_0)=lim_(h-->0) (∂f/∂x (x_0, y_0+h) - ∂f/∂x (x_0,y_0))/h

Ist jetzt die Reihenfolge richtig oder war das anders gemeint?

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ja nach x und dann nach y abgeleitet

Erst nach y und dann nach x. Aber die Notation stimmt jetzt. Man liest von rechts nach links.

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Aber liest man "∂² f/∂x∂y" nicht als "Zuerst partiell nach x und dann nach y". Also allgemein, jetzt ohne Satz von Schwarz.

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Es ist $\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y}$. Also wird die partielle Ableitung nach y nach x abgeleitet.

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Ahhh ok, jetzt ist es einleuchtender, vielen Dank (: