Bestimme die Steigung mittels Differentialquotient...stimmt mein Ergebnis?

Question

$$ f(x)=2x^2, x_0=2 $$
$$ \lim_{h\to0}\frac { f(x+h)-f(x) }{ h } $$
$$ \lim_{h\to0}\frac { f(2+h)^2-f(2^2) }{ h } $$
$$ \lim_{h\to0}\frac { 2(4+4h+h^2)-8 }{ h } $$
$$ \lim_{h\to0} \frac { 8+8h+2h^2 -8}{ h } $$
$$ \lim_{h\to0}\frac { h(8+2h) }{ h } $$
$$ \lim_{h\to0} { 8+2h } $$
$$ =8 $$

Also beträgt die Steigung an der Stelle x=2 also 9?

Answer 1

Hi,
irgendwie kommt das richtige raus aber der Weg sieht komisch aus.
$$ \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{2(x_0+h)^2-2x_0^2}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{2x_0^2+4x_0h+2h^2-2x_0^2}{h} = \lim_{h\to 0} \left( 4x_0+2h \right) = 8 $$ für \( x_0 = 2 \) 

Die Steigung ist also an der Stelle \( x_0 = 2 \) gleich 8 und nicht 9.

Comments

Hi Ullim :)

Naja ich arbeite zum dritten mal mit dem Differentialquotienten, aber die Stelle x₀=2 ist doch bekannt, wieso kann ich nicht direkt die 2 einsetzen?

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Also ich persönlich mache lieber den einfacheren Weg zur Steigung:

(f(x)-f(x₀))/(x-x₀)

Und dann den Grenzwert an der Stelle x natürlich einsetzen ;)

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Das mit dem differentialquotienten muss ich wohl noch üben ^^

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\( x_0 = 2 \) kannst Du schon direkt einsetzten. Was falsch ist, ist die Notation \( f(2+h)^2 \). Gemeint ist ja wahrscheinlich \(  f(2+h) = 2(2+h)^2 \)

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ich glaube nicht das das einfacher ist, es ist einfach nur anders. Den Grenzwert musst Du ja auch berechnen.