Zeige das für alle n ∈ ℕ+ und alle Primzahlen p mit n p ≤2, dass p den

Question

Aufgabe:

Zeige das für alle n ∈ ℕ+ und alle Primzahlen p mit n < p ≤2, dass p den

Binomialkoeffizienten (2n über n) teilt.

Ich weiß leider nicht welche Eigenschaft der Primzahlen ich hier verwenden kann um diese Aufgabe zu lösen

Comments

Frage: Wer denkt sich solche Aufgaben aus?

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Erstens muss es statt

n < p ≤2

vermutlich n  > p  ≥ 2 lauten, aber selbst das ist unnötig, weil sowieso jede Primzahl  ≥ 2 ist.

Formuliere deshalb erst mal die Aufgabe richtig.

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Frage: Wer denkt sich solche Aufgaben aus?

Das könnte z.B. Dr. Sebastian Haimleitner gewesen sein. Und was bringt es dir, wenn du eine Antwort auf diese komische Frage bekommen hast?

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vermutlich n > p ≥ 2 lauten

wohl eher n < p ≤ 2n

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Das könnte z.B. Dr. Sebastian Haimleitner gewesen sein. Und was bringt es dir, wenn du eine Antwort auf diese komische Frage bekommen hast?

Keine Antwort ist auch eine Antwort.

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Eigenschaft der Primzahlen ich hier verwenden kann
Wie wäre es mit "eine Primzahl hat keine größeren Teiler als 1 außer sich selbst."

Wesentlicher scheint mir hier die Frage nach Eigenschaften der Binomialkoeffizienten zu sein, und da empfehle ich die Darstellung \( \binom{2n}{n} = 2^n·\frac{1·3·5· ... ·(2n-1)}{1·2·3· ... ·n}\) .

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Kann ich nun anwenden, dass P den ersten oder den zweiten Ausdruck teilen muss. Da ja P eine Primzahl ist? und da 2 hoch n immer eine gerade Zahl ≥ 2 ist, muss P den zweiten Ausdruck teilen?

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1. Frage : Antwort "Ja".
2. Frage ist unverständlich
3. Frage : Antwort ".. oder den ersten."

Falls du die von mir angegebene Darstellung benutzen willst, diese aber so in der Vorlesung nicht angeschrieben wurde, solltest du sie sicherheitshalber nachweisen.

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Der Fragesteller sollte noch bestätigen, ob es um n < p ≤ 2n geht.

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ja es handelt sich um n < p ≤ 2n

Answer 1

Es ist \(\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\). Für \(n<p<2n\) teilt \(p\) den Zähler, aber nicht den Nenner.

1) Der Zähler enthält alle Faktoren von \(n\) bis \(2n\) und damit auch den Faktor \(p\).

2) Der Nenner kann nicht durch \(p\) teilbar sein, denn \(n!\) enthält nur die Faktoren von \(1\) bis \(n\), deren Primfaktoren aber alle sämtlich kleiner als \(p\) sein müssen. Folglich gilt das auch für \((n!)^2\). Die Primzahl \(p\) kann daher aufgrund der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung kein Teiler des Nenners sein, da \(p>n\).

Comments

Danke für die Erklärung, jetzt versteh ich es!