Wir ergänzen die mittere Zeile durch eine Variable c:
\( \begin{pmatrix} ...& ...& ... \\ \red{c}& ab & 1 \\...& ...& ... \end{pmatrix} \).
Das "magische Produkt" aller Zeilen, Spalten und Diagonalen ist somit abc.
Besetzen wir nun die linke obere Ecke mit der Variablen d:
\( \begin{pmatrix} \blue{d}& ...& ... \\ \red{c}& ab & 1 \\...& ...& ... \end{pmatrix} \).
Um in der ersten Spalte das magische Produkt abc zu erhalten, muss unten ab/d eingesetzt werden:
\( \begin{pmatrix} \blue{d}& ...& ... \\ \red{c}& ab & 1 \\ \green{\frac{ab}{d}}& ...& ... \end{pmatrix} \).
Um in der Hauptdiagonale das magische Produkt abc zu erhalten, muss unten c/d eingesetzt werden:
\( \begin{pmatrix} \blue{d}& ...& ... \\ \red{c}& ab & 1 \\ \green{\frac{ab}{d}}& ...&\orange{\frac{c}{d}} \end{pmatrix} \).
Die untere Zeile benötigt noch d²,
\( \begin{pmatrix} \blue{d}& ...& ... \\ \red{c}& ab & 1 \\ \green{\frac{ab}{d}}& d^2&\orange{\frac{c}{d}} \end{pmatrix} \)
und die mittlere Spalte muss dann mit c/d² ergänzt werden:
\( \begin{pmatrix} \blue{d}& \frac{c}{d^2}&...\\ \red{c}& ab & 1 \\ \green{\frac{ab}{d}}& d^2&\orange{\frac{c}{d}} \end{pmatrix} \).
Betrachtet man nun die erste Zeile (oder die dritte Spalte), muss die letzte fehlende Eintragung "abd" sein.
Betrachtet man hingegen die Nebendiagonale, muss die letzte Eintragung \( \frac{cd}{ab} \) sein.
Daraus folgt, dass \( \frac{cd}{ab}=abd \) und damit c=a²b² sein muss.
Wir erhalten somit
\( \begin{pmatrix} \blue{d}& \frac{a^2b^2}{d^2}&abd\\ \red{a^2b^2}& ab & 1 \\ \green{\frac{ab}{d}}& d^2&\orange{\frac{a^2b^2}{d}} \end{pmatrix} \) mit einem fast frei wählbaren Parameter d.
(Es muss lediglich vermieden werden, dass durch spezielle Werte d die Eintragungen nicht mehr paarweise verschieden sind, und d=0 ist natürlich auch ausgeschlossen.)
