Question

Ein magisches Multiplikationsquadrat der Ordnung 3 soll 9 paarweise verschiedene Terme enthalten und jede Zeile, jede Spalte und jede Diagonale soll das gleiche Produkt der drei Terme haben. Ergänze

	a·b	1

zu einem magischen Multiplikationsquadrat.

Comments

c^3	c^2	c^7
c^8	c^4	c^0
c^1	c^6	c^5

a•b=c⁴

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Das ist natürlich clever. Aus dem Multiplikationsquadrat wird ein (Exponenten-)Additionsquadrat.

Answer 1

Wir ergänzen die mittere Zeile durch eine Variable c:

$\begin{pmatrix} ...& ...& ... \\ \red{c}& ab & 1 \\...& ...& ... \end{pmatrix}$.

Das "magische Produkt" aller Zeilen, Spalten und Diagonalen ist somit abc.

Besetzen wir nun die linke obere Ecke mit der Variablen d:

$\begin{pmatrix} \blue{d}& ...& ... \\ \red{c}& ab & 1 \\...& ...& ... \end{pmatrix}$.

Um in der ersten Spalte das magische Produkt abc zu erhalten, muss unten ab/d eingesetzt werden:

$\begin{pmatrix} \blue{d}& ...& ... \\ \red{c}& ab & 1 \\ \green{\frac{ab}{d}}& ...& ... \end{pmatrix}$.

Um in der Hauptdiagonale das magische Produkt abc zu erhalten, muss unten c/d eingesetzt werden:
$\begin{pmatrix} \blue{d}& ...& ... \\ \red{c}& ab & 1 \\ \green{\frac{ab}{d}}& ...&\orange{\frac{c}{d}} \end{pmatrix}$.

Die untere Zeile benötigt noch d²,
$\begin{pmatrix} \blue{d}& ...& ... \\ \red{c}& ab & 1 \\ \green{\frac{ab}{d}}& d^2&\orange{\frac{c}{d}} \end{pmatrix}$

und die mittlere Spalte muss dann mit c/d² ergänzt werden:

$\begin{pmatrix} \blue{d}& \frac{c}{d^2}&...\\ \red{c}& ab & 1 \\ \green{\frac{ab}{d}}& d^2&\orange{\frac{c}{d}} \end{pmatrix}$.

Betrachtet man nun die erste Zeile (oder die dritte Spalte), muss die letzte fehlende Eintragung "abd" sein.

Betrachtet man hingegen die Nebendiagonale, muss die letzte Eintragung  $\frac{cd}{ab}$ sein.

Daraus folgt, dass $\frac{cd}{ab}=abd$ und damit c=a²b² sein muss.

Wir erhalten somit

$\begin{pmatrix} \blue{d}& \frac{a^2b^2}{d^2}&abd\\ \red{a^2b^2}& ab & 1 \\ \green{\frac{ab}{d}}& d^2&\orange{\frac{a^2b^2}{d}} \end{pmatrix}$  mit einem fast frei wählbaren Parameter d.

(Es muss lediglich vermieden werden, dass durch spezielle Werte d die Eintragungen nicht mehr paarweise verschieden sind, und d=0 ist natürlich auch ausgeschlossen.)

Comments

Z.B. a•b=3 und d=2

2	2,25	6
9	3	1
1,5	4	4,5

:-)

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Wenn nur natürliche Zahlen zugelassen sind, wähle z.B. a=2 und b=5.

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Mit d=b fallen die Brüche weg.

b	a²	ab²
a²b²	ab	1
a	b²	a²b

Nun können a und b mit a≠b und a≠1, b≠1 beliebig gewählt werden.

Z.B.

3	4	18
36	6	1
2	9	12

Das dürfte die Lösung mit den kleinsten natürlichen Zahlen sein.

:-)

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Nun können a und b mit a≠b und a≠1, b≠1 beliebig gewählt werden.

... wobei sowas wie a=b² vermieden werden sollte

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Monty, das dürfte nicht nur die Lösung mit den kleinsten natürlichen Zahlen sein, das ist die Lösung mit den kleinsten natürlichen Zahlen.