Rekursive Folgen auf Monotonie untersuchen

Question

Wie genau untersucht man Folgen auf Monotonie?

Die rekursive Folge a_n+1 = a_n² + $\frac{1}{4}$

mit a0 = $\frac{1}{4}$ ist gegeben.

Mein Ansatz war a_n < a_n+1 umzuformen. Dann kommt man irgendwann an den Punkt 0 < a_n²- a_n + 0,25. Wenn man das löst kommt a_n = 0,25 heraus, wodurch die Aussage 0 < 0,25 wahr sein würde.

Danach kommt dann aber die Aufgabe, bei der man den Grenzwert der Folge berechnen soll, wo man theoretisch das Gleiche macht nur statt ungleich einem gleich Zeichen. Ist mein Vorgehen richtig, oder gibt es da eine andere Möglichkeit?

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die Folge:$$a_{n+1}=a_n^2+\frac14\quad;\quad a_0=\frac14$$

Monotonie

Wir untersuchen die Differenz benachbarter Glieder:$$a_{n+1}-a_n=\left(a_n^2+\frac14\right)-a_n=a_n^2-2\cdot\frac12\cdot a_n+\left(\frac12\right)^2=\left(a_n-\frac12\right)^2\ge0$$Für alle $n\in\mathbb N_0$ gilt daher:$\quad a_{n+1}\ge a_n$

Die Folge $(a_n)$ ist monoton wachsend.

Beschränktheit

Da die Folge monoton wächst, ist sie durch $a_0=\frac14$ nach unten beschränkt.

Die Folge ist aber auch durch $a_n<\frac12$ nach oben beschränkt, wie die nachfolgende vollständige Induktion zeigt. Die Verankerung bei $n=0$ ist trivial, da $a_0=\frac14$, was sicher kleiner als $\frac12$ ist. Der Induktionsschritt geht nun so:$$\frac14\le a_n<\frac12\implies a_n^2\le\frac14\implies a_n^2+\frac14<\frac12\implies a_{n+1}<\frac12\quad\checkmark$$

Die Folge ist also beschränkt:$\quad\frac14\le a_n<\frac12$.

Grenzwert

Jede beschränkte monotone Folge konvergiert, also auch der vorliegende Patient.

$$\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(a_n^2+\frac14\right)=\left(\lim\limits_{n\to\infty}a_n\right)^2+\frac14\quad\bigg|a\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}$$$$a=a^2+\frac14\quad\bigg|-a$$$$a^2-a+\frac14=0\quad\big|\text{2-te binomische Formel}$$$$\left(a-\frac12\right)^2=0\quad\big|\sqrt{\cdots}$$$$a-\frac12=0\quad\big|+\frac12$$$$a=\frac12$$Der gesuchte Grenzwert ist also $a=\frac12$.

Comments

Danke für die ausführliche Antwort! Kannst du mir noch verraten, warum die Folge nur monoton und nicht streng monoton ist?

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Da Quadratzahlen nie negativ sind, gilt $\left(a_n-\frac12\right)^2\ge0$. Das reicht, um die Monotonie zu zeigen und die Monotonie reicht, um zusammen mit der Beschränktheit die Kovnergenz zu folgern. Du brauchst also die strenge Monotone nicht zu zeigen.

Du kannst jedoch die Info verwenden, dass wir weiter unten $a_n<\frac12$ herausgefunden haben. Dann ist klar, dass sogar $\left(a_n-\frac12\right)^2>0$ gilt, also sogar strenge Monotonie vorliegt.

Answer 2

a0 = 1/4 = 0.25
a1 = 5/16 = 0.3125
a2 = 89/256 ≈ 0.3477

Verdacht streng monoton steigend. Also

x² + 1/4 > x
x² - x + 1/4 > 0
(x - 1/2)² > 0 → wahr für x ≠ 1/2

Ich spare mir mal zu zeigen das 1/2 nicht angenommen wird, weil das sicher der Grenzwert ist, bei dem gilt a(n+1) = a(n)

Comments

Aber ist die Folge dann streng monoton steigend? Weil für an = 0,5 ist es ja nicht streng monoton steigend.

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Ah, weil an = 0,5 der Grenzwert ist, ist die Aussage also wahr. Aber wäre dann die Reihenfolge erst Grenzwert berechnen dann Monotonie bestimmt nicht sinnvoller?

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Man zeigt zunächst das die Folge monoton steigend und beschränkt ist. Damit weiß man dann das es einen Grenzwert geben muss den man dann im Anschluss berechnet.