Konvergenz Reihe doppelbruch

Question

Aufgabe:

Reihe $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{}$3/2^n + 2/3^n . Ich wollte diese mit dem Quotientenkriterium lösen und stieß auf einen Doppelbruch halt ak+1/ak. Wollte fragen wie ich den löse? Habe was von ad/bc gehört aber weiß nicht genau.

Hab auch das Wurzelkriterium probiert, aber hätte dort ^k$\sqrt{ak}$ = $\sqrt{3}$/2 + $\sqrt{2}$/3 nutzen müssen. Glaube ich. Wie wäre ich dort zum Ergebnis gekommen?

MfG

Comments

Deine Ausführung zum Wurzelkriterium legt die Vermutung nahe, dass Du so umgeformt hast:

$$\sqrt[k]{p+q}=\sqrt[k]{p}+\sqrt[k]{q}$$

Das ist falsch. Unabhängig von der Frage nach der Reihenkonvergenz solltest Du darüber gründlich nachdenken.

Zur Frage nach dem Doppelbruch: Am besten schreibst Du ihn mal hierhin, dann sehen wir weiter.

Noch ein Tipp: Die Reihe kann auch als Summe aus 2 geometrischen Reihen betrachtet werden.

(ich gehe davon aus, dass Du 3/2ⁿ meinst und nicht (3/2)ⁿ)

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Danke für nichts an alle

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Danke für nichts an alle

Das ist an Respektlosigkeit ja auch nicht mehr zu übertreffen. Man könnte ja mal auf die Kommentare und Antworten der Leute eingehen und ins Gespräch gehen. Dann wird die Hilfe auch wesentlich zielgerichteter.

Answer 1

3/2ⁿ hat den Summenwert: 3/(1-1/2) = 6

2*1/3 hat den Wert: 2/(1-1/3) = 3

allgemein:

a/bⁿ hat den Wert a/(1-b)

https://www.massmatics.de/merkzettel/#!27:Die_Geometrische_Reihe

mit Quotientenkriterium:

(3/2ⁿ*2)*(2ⁿ/3) = 1/2

Wurzelkriterium:

3^(1/n)/2 = 1/2 für n -> oo

Comments

In jeder (math.) Zeile ein Fehler...

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Danke, ich hatte zuerst 1/(1-1/2) und wollte dann auf das Vorziehen des Faktors verweisen.

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in jeder, nicht nur in der ersten

Answer 2

Vielleicht hilft das weiter:$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\left(\dfrac{3}{2^n} + \dfrac{2}{3^n}\right)} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\dfrac{3^{n+1}+2^{n+1}}{6^n}}=\dots$$ Einfacher ist es, die Reihe in zwei (geometrische) Reihen zu zerlegen.

Comments

Einfacher ist es, die Reihe in zwei (geometrische) Reihen zu zerlegen.

Wie geht dein kompliziertes Ansatz weiter?

Was motiviert dich zu ihm? Hintergedanke? Worauf willst du damit hinaus?

Warum den HN bilden?

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Warum den HN bilden?

Das kannst du dir doch selber denken.
Es ist eine Situation, wo zwei Brüche mit verschiedenen Nenner addiert werden.
da MACHT man so etwas üblicherweise (auch wenn es für die Konvergenzuntersuchung hier nicht notwendig ist).

Wie geht dein kompliziertes Ansatz weiter?

So kompliziert ist er nun auch wieder nicht.

Mann kann abschätzen

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\dfrac{3^{n+1}+2^{n+1}}{6^n}}<\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\dfrac{3^{n+1}+3^{n+1}}{6^n}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\dfrac{2\cdot 3^{n+1}}{6^n}}$ und fortsetzen zu

$=6\sum\limits_{n=0}^{\infty}{{0,5^n}}$.

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Danke, doch wer würde hier mit Abschätzen operieren, wenn es ganz einfach über zwei geometrische Reihen geht, deren Formel bekannt ist?

Doch was bringt das konkret? Man landet wieder bei einer, wenn auch nur einer.

Als Übung zum Abschätzen??

Das kannst du dir doch selber denken.

Damit meinte ich den Ansatz insgesamt, den ich nie so gemacht hätte.

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Es war ja nur ein möglicher Ansatz, die Brüche zusammenzufassen. Ebenso wurde gesagt, dass die Zerlegung in zwei geometrische Reihen wesentlich einfacher ist. Da du dies aber in deiner Antwort schon getan hast, wäre es hier nur eine weitere Wiederholung gewesen. Daher ist es durchaus sinnvoll, auch einen Weg zu zeigen, wo man die Brüche zusammenfasst. Die Abschätzung dient hier nur der Prüfung auf Konvergenz. Die Aufgabe besteht ja anscheinend nicht darin, den Grenzwert auch zu berechnen. In so einem Fall wäre die Abschätzung auch nicht hilfreich.

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Wie so oft, bleibt unklar, was überhaupt die Aufgabe ist. Sicher nicht die Reihe zu "lösen", wie oben gesagt wurde.

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Und dann bekommt man nur ein "Danke für Nichts" um die Ohren gepfeffert. Ich halte hier einfach mal den Spiegel vor und danke dem FS im Namen aller Helfenden ebenfalls für Nichts. :)

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Wenn man sich die bisherigen Beiträge von yoda33 ansieht, erkennt man ein wiederkehrendes Muster:
- das Umgehen der Forderung nach eigener Mitwirkung

- das (nur ungeschickt bemäntelte) Betteln um fertige Lösungen.

Die jetzt noch dazukommende Beleidigung lässt für mich nur eine vernünftige Schlussfolgerung zu: Ignorieren dieses Vollpfostens bei seinen nächsten Fragen.

Nachahmung wird empfohlen.