Bildet ui + V eine Basis für U/V?

Question

Aufgabe:

Es sei $U=\mathbb{R}^{5}$ und $V=\left\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{5}: x_{1}=x_{2}, x_{3}=x_{4}=x_{5}=0\right\}$. Ferner seien die Vektoren $\mathbf{u}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), \mathbf{u}_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), \mathbf{u}_{3}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \mathbf{u}_{4}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ in $U$ gegeben.
Überprüfen Sie, ob $\mathbf{u}_{i}+V, i=1,2,3,4$ eine Basis für $U / V$ bilden.

Problem/Ansatz:

Unten hab ich mein Lösungsweg, kann da jemand rüberschauen?

Text erkannt:

Aufgabe 1 (10 Punkte)
$\begin{array}{l} \text { Es sei } U=\mathbb{R}^{5} \text { und } V=\left\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{5}: x_{1}=x_{2}, x_{3}=x_{4}=x_{5}=0\right\} \text {. Ferner seien die Vektoren } \\ \mathbf{u}_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \mathbf{u}_{2}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \mathbf{u}_{3}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \mathbf{u}_{4}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \text { in } U \text { gegeben. } \\ \text { Oberpruf́en Sie, ob } \mathbf{u}_{i}+V, i=1,2,3,4 \text { eine Basis für } U / V \text { bilden. } \end{array}$

Ereeugendensyslem:
Der Vehknaum ist encllich eneugf, wegen der endlich villen Vehtoen
$\left\langle u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}\right\rangle=U \text {. }$
dineare Unalbhaingigheit pinfen:
$\begin{array}{l} c_{1} \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+c_{2} \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+c_{3} \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+c_{4} \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} a \\ a \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \quad \text { Frie eimice } a \in \mathbb{R} \\ \Leftrightarrow c_{1} \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \cdot c_{2}\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+c_{3} \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+c_{4} \cdot\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{2}+c_{2} \\ c_{3}+c_{3}+c_{4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} a \\ a \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{3} \\ x_{3} \end{array}\right) \\ \end{array}$
fall $a \neq 0$ :
$c_{1}=a$
fall $a=0$ :
$c_{2}=a$
$c_{1}=0=c_{2}=-c_{3}=c_{4}$
$c_{2}+c_{3}=0 \Leftrightarrow c_{2}=-c_{3}$
(c) $c_{1}=c_{2}=c_{3}=c_{1}=0$.
$\begin{aligned} & c_{3}+c_{4}=0 \Leftrightarrow c_{3}=-c_{4} . \\ V= & \left\{x \in \mathbb{R}^{5}: x_{4}=x_{2}, x_{3}=x_{4}=x_{5}=0\right\} \end{aligned}$

Die Basis von Vist:
$\begin{array}{l} \left.\left\{\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right\}, \operatorname{dim}(V)=1 \text { und } \operatorname{dim}(U)=5 \\ \operatorname{dim}(U / V)=\operatorname{dim}(U)-\operatorname{dim}(V)=4 \end{array}$
$D a u_{1}+V, u_{2}+V, u_{3}+V, u_{3}+V$ lin. unaltiaingig ssind und vier Velloren im mendimemienalen Raum sind, engibf $u_{i}+V, i=1,2,3,4$ eine Baris fii $U / V$.

Comments

Der Vehknaum ist ...

In der Aufgabenstellung kommen drei Vektorräume vor. Welchen meinst du?

wegen der endlich villen Vehtoen

Welche Vektoren meinst du und wie sorgen die Vektoren dafür, dass der Vektorraum endlich erzeugt ist?

Answer 1

$\left\langle u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}\right\rangle=U$

Das ist falsch wegen $\begin{pmatrix}0&0&0&0&1\end{pmatrix}^\mathrm{T}\in U$ und $\begin{pmatrix}0&0&0&0&1\end{pmatrix}^\mathrm{T}\notin \left\langle \boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \boldsymbol{u}_{3}, \boldsymbol{u}_{4}\right\rangle$.

Da $u_{1}+V, u_{2}+V, u_{3}+V, u_{3}+V$ lin. unabhängig sind ...

Die lineare Unabhängigkeit der $\boldsymbol{u}_i+V$ hast du nicht untersucht, sondern lediglich die der $\boldsymbol{u}_i$.

Stattdessen ist

        $\boldsymbol{u}_{1}+ \boldsymbol{u}_{2} -\boldsymbol{u}_{3}+\boldsymbol{u}_{4}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\in V$

also

        $\left(\boldsymbol{u}_{1}+V\right)+\left(\boldsymbol{u}_{2}+V\right)-\left(\boldsymbol{u}_{3}+V\right)+\left(\boldsymbol{u}_{4}+V\right)= V = 0_{U/V}$.