Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von W^{orthognal}?.

Question

In \( V=\mathbb{R}^{4} \) sei \( W \) der von \( \boldsymbol{u}=(1,0,-1,2)^{T} \) und \( \boldsymbol{v}=(2,0,2,-1) \) aufgespannte Unterraum. Weiter sei \( W^{\perp} \) der zu \( W \) orthogonale Unterraum (bezüglich des Standardskalarprodukts). Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von \( W^{\perp} \).

Ansatz: Ich würde jetzt mit der Formel u^T*A*v eine Matrix aufstellen und dann den Rang zu bestimmen, um die dim zu bekommen. Ist das so richtig?

Und für die Basis muss ich ja zeigen das diese Matrix dann L.U. ist also = 0 setzen und dann lösen?

Comments

Wo kommt das A her? Beim Standardskalarprodukt steht da die Einheitsmatrix.

Du musst Vektoren w finden s.d. $$ u^{\textrm{T}}w=0=v^{\textrm{T}}w $$Betrachte also das LGS $$ \begin{pmatrix}-~u^{\textrm{T}}~-\\-~v^{\textrm{T}}~-\end{pmatrix} w = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$$

Answer 1

u und v sind linear unabhängig. Also dim(W)=2 und damit ist

dim(W^⊥)=dim(V)-dim(W) = 2.

Die Elemente von W^⊥ müssen alle mit u und mit v das Skalarprodukt 0 haben.

Also löse das hom. Gl.sys. mit Matrix

\( \begin{pmatrix} 1&0&-1&2 \\ 2 & 0&2&-1 \end{pmatrix} \)

2. Zeile minus 2* 1. Zeile gibt

\( \begin{pmatrix} 1&0&-1&2 \\ 0 & 0&4&-5 \end{pmatrix} \)

mit x₄=t gibt es x₃=1,25t

und dann x₂=s gibt x₁=-s-0,75t. Also sehen alle Lösungen so aus:

\( \begin{pmatrix} -s-0,75t\\s\\1,25t\\t \end{pmatrix} = s\begin{pmatrix} -1\\1\\0\\0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -0,75\\0\\1,25\\1 \end{pmatrix}\)

Eine mögliche Basis von W^⊥ ist also

\( ( \begin{pmatrix} -1\\1\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -0,75\\0\\1,25\\1 \end{pmatrix})\).