ES sei a=t0<t1<…tn=b eine Zerlegung des Intervalls [a,b]. pi,qi bezeichnen jeweils das Infimum bzw. Supremum der f(x) auf dem Teilintervall [ti−1,ti]. Dann gilt für x∈[ti−1,ti]:
pi≤f(x)≤qi⇒qi1≤f(x)1≤pi1
Damit gilt für die Obersumme / Untersumme zur Zerlegung Z:
OS(1/f,Z)−US(1/f,z)≤i=1∑n(pi1−qi1)(ti−ti−1)=i=1∑n(piqiqi−pi)(ti−ti−1)≤c21i=1∑n(qi−pi)(ti−ti−1)=c21(OS(f,z)−US(f,z))
Wenn ein ϵ>0 vorgegeben ist, wählen wir eine Zerlegung Z mit OS(f,Z)−US(f,Z)<c2ϵ - das geht weil f R-integrierbar ist -. Dann folgt OS(1/f,Z)−US(1/f,Z)<ϵ. Also ist 1/f integrierbar.