0 Daumen
278 Aufrufe

Aufgabe:

La1 Klausur vom 6 August_240916_075342.jpg

Text erkannt:

Aufate 2.C.
Sei Vein Vehtanoum über ainem Köper K̇ und \( v_{1}, \ldots, v_{n} \in V \). Wie schreiben arepentem \( W_{:}=V_{1}+\ldots+V_{n} \) :
\( \xi \) Vi, .., vn genau darn Baris foin wemn \( V_{1}, \ldots, V_{n-1}, w \) eine Bases fiil \( V_{i s} \).

Beweis:
Sei \( a \in \mathbb{K} \) anel \( v_{1}, \ldots, v_{n} \in V \) :
\( \begin{array}{l} z_{2} a_{1} \cdot v_{1}+\cdots+a_{n} \cdot v_{n-1}+w=0 \Rightarrow a_{4}, a_{n}=0 \\ a_{1} \cdot v_{1}+\cdots+a_{n-1} \cdot v_{n-1}+a_{n}: w \\ =a_{1} v_{1}+\ldots+a_{n i} v_{n-1}+a_{n}\left(v_{1}+\ldots v_{n}\right) \\ =a_{1} v_{1+\ldots}+a_{n-1} \cdot v_{n-1}+a_{n} v_{n}+a_{n}\left(v_{1}+\ldots+v_{n-1}\right) \end{array} \)




Problem/Ansatz:

Hallo, leider stecke ich hier in einer Sackgasse. Wie zeige ich hier lin unabh.?

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

1. Richtung:

Sei \(   v_{1} , \cdots, v_{n} \) Basis für V und \( w = v_{1}+\ldots v_{n} \):

Dann willst du zeigen, dass \(  v_{1} , \cdots, v_{n-1},w \) eine Basis für V ist.

Seien also \(  a_{1} , \cdots, a_{n} \in K \) mit

\(  a_{1} \cdot v_{1}+\cdots+a_{n-1} \cdot v_{n-1}+a_{n} \cdot w = 0  \)

Dann hattest du ja schon richtig:
\( a_{1} \cdot v_{1}+\cdots+a_{n-1} \cdot v_{n-1}+a_{n} v_{n}+a_{n}\left(v_{1}+\ldots+v_{n-1}\right)=0 \)

Löse die andere Klammer auch auf und fasse die Teile mit dem gleichen v zusammen:

\( (a_{1}+a_n) \cdot v_{1}+\cdots+(a_{n-1}+a_n)  \cdot v_{n-1}+a_{n} v_{n}=0 \)

Wegen der lin. Unabh. der vi ist an=0 und alle Klammern sind 0,

also alle ai gleich 0.   q.e.d.

Avatar von 289 k 🚀

Danke für deine Erklärung! Wieso steht bei dir oben 1 Richtung, muss ich noch die zweite zeigen?

Und wieso dürfen wir an = 0 setzen? Das war ja nirgends in den Voraussetzungen. Oder ist das eine Definition die man immer verwenden kann?

Und wieso dürfen wir an = 0 setzen?

Die Frage hättest du schon oswald stellen können, oder war dir das bei ihm klar ?
Dann benutze dieselbe Begründung auch hier.

" Wieso steht bei dir oben 1 Richtung,"

Du sollst doch zeigen:

v1, .., vn genau dann Basis von V,

wenn \( V_{1}, \ldots, V_{n-1}, w \) eine Basis von V ist..

Also so:

v1, .., vn Basis von V <=>  \( v_{1}, \ldots, v_{n-1}, w \)  Basis von V.

Ich habe nur ==> gezeigt.

Da jeweils die Anzahl stimmt, habe ich mich nur auf lin. unabhängig

konzentriert. Denn das bedeutet ja:

Wenn eine Linearkombination der Vektoren den 0-Vektor ergibt,

dann sind alle Faktoren vor den Vektoren gleich 0.

Alles klar danke, aber mir ist immernoch nicht klar wieso man a_n gleich 0 setzen kann? Mir ist es egal wen ich frage, irgendwo muss ich es ja runterschreiben! xD

Du hast doch

\( (a_{1}+a_n) \cdot v_{1}+\cdots+(a_{n-1}+a_n)  \cdot v_{n-1}+a_{n} v_{n}=0 \)

(oder ist das deine Frage, warum da = 0 steht ? )

Und es gilt  \(  v_{1} , \cdots, v_{n} \) sind linear unabhängig

und bilden eine Linearkombination des Nullvektors.

Das bedeutet nach Def. der lin. Unabh., dass die Faktoren vor

jedem vi gleich 0 sein müssen, also

\( (a_{1}+a_n) =0 , \cdots, (a_{n-1}+a_n)  =0  \text{ und  } a_{n}=0 \)

Die letzte Gleichung in die ersten n-1 Stück eingesetzt liefert:

Alle ai müssen 0 sein, also sind die anfangs betrachteten Vektoren

\(  v_{1} , \cdots, v_{n-1},w \) sind lin. unabh.

Zu der Frage an=0:

Jetzt verstehe ich wieso wir das verwenden durften, aber mir ist immer noch nicht klar wieso alle an inneralb der Klammern gleich 0 gesetzt wurden außer einem an der noch in der Multiplikation mit vn steht

"wieso alle an innerhalb der Klammern gleich 0 gesetzt wurden"

Das folgt aus dem Gleichungssystem:

\( (a_{1}+a_n) =0 , \cdots, (a_{n-1}+a_n)  =0  \text{ und } a_{n}=0 \)

Wegen der letzten Gleichung bleibt nur

\( (a_{1}+0) =0 , \cdots, (a_{n-1}+0)  =0  \text{ und } a_{n}=0 \)

und kurz bedeutet das:

\( a_{1}=0 , \cdots, a_{n-1}  =0  \text{ und } a_{n}=0 \)

La1 Klausur vom 6 August_240920_191220.jpg

Text erkannt:

Arifabe 2.C
Sei Vein Vehtomoum über einem Cojper Kend \( v_{1}, v_{n} \in V \). Wir schneiben auperslem \( w_{:}=v_{1}+\cdots+V_{n} \)
\( \xi_{i}, V_{1}, V_{n} \). genau darn Baissfir \( V_{1} \) wern \( V_{11}, V_{n-1}, w \) ene Bases fi \( V_{\text {is }} \) :

Buseis:
\( V_{1, \ldots, V_{n-1}} \) Basis ven \( V \Rightarrow V_{1}, \ldots, V_{n-1}, w \) Besese van \( V \)
\( \begin{aligned} & \sum \limits_{i=1}^{n-1} a_{i} v_{i}+a_{n} \cdot w=0 \\ \Leftrightarrow & \sum \limits_{i=1}^{n-1} a_{i} v_{i}+a_{n} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} v_{i}=0 \\ \Leftrightarrow & \sum \limits_{i=1}^{n-1} a_{i} v_{i}+\sum \limits_{i=1}^{n} a_{n} v_{i}=0 \\ \Leftrightarrow & \sum \limits_{i=1}^{n-1} a_{i} v_{i}+\sum \limits_{i=1}^{n-1} a_{n} v_{i}+a_{n} v_{n}=0 \\ \Leftrightarrow & \sum \limits_{i=1}^{n-1} v_{i}\left(a_{i}+a_{n}\right)+a_{n} v_{n}=0 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} \sum \limits_{i=1}^{n-1} a_{i} k_{i} & \subseteq \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} V_{i} \\ & \Rightarrow a_{11}, \ldots, a_{n} \end{aligned} \)
\( \Rightarrow \) linear unabhängeg.
\( \Rightarrow \) Banis
Da \( V_{4}, \ldots, V_{n} \) eine Basis ist honnen wir deren Coefficienten
\( a_{1}=\ldots=a_{n}=0 \) sehen
\( \left(\frac{a_{n}=0}{d a \text { Basis }} \sum \limits_{i=1}^{n-1} \cdot v_{i}\left(a_{i}+0\right)+0 v_{n}=0 .\right. \)
\( \Leftrightarrow \sum \limits_{i=1}^{n-1} v_{i} a_{i}=0 \quad \Rightarrow v_{1}, \ldots, v_{n-1} \) Besis ven V
\( V_{1}, \ldots ; V_{n} \) boesis ven \( V . V_{1} ; \ldots ; V_{n-1} \), w. Boeses \( V_{a n} V \).
\( \begin{array}{l} \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} v_{i}=0 \\ \Leftrightarrow \sum \limits_{i=-1}^{n-1} a_{i} v_{i}+a_{n} \dot{v}_{n}=0 \\ \Leftrightarrow \sum \limits_{i=1}^{n-1} a_{i} v_{i}+a_{n}\left(w-\sum \limits_{i=1}^{n-1} v_{i}\right) \\ \Leftrightarrow \underbrace{\sum \limits_{i=1}^{n-1} a_{i} V_{i}+a_{n} \cdot w}-\sum \limits_{i=1}^{n} a_{n} V_{i} \end{array} \)
\( \begin{array}{l} w=V_{4}+\ldots+v_{n} /- \\ w-V_{n}=V_{1}+\ldots+V_{n-1} \\ v_{n}=w-V_{1}+\ldots+v_{n-1} \end{array} \)
\( \sum \limits_{i=1}^{n-T} a_{i} k_{i}+a_{n} \cdot w=0 \)

Hier komme ich ins stocken, könnt ihr mir helfen?

0 Daumen

Ist

    \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i}+a_{n}w=0\),

dann ist

\(\begin{aligned} & \sum_{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i}+a_{n}\sum_{i=1}^{n}v_{i}\\ = & \sum_{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i}+\sum_{i=1}^{n}a_{n}v_{i}\\ = & \sum_{i=1}^{n-1}\left(a_{i}+a_{n}\right)v_{i}+a_{n}v_{n}\\ = & \sum_{i=1}^{n-1}\left(a_{i}+0\right)v_{i}+0v_{n}\\ = & \sum_{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i} \end{aligned}\)

Avatar von 106 k 🚀

Hallo Oswald, danke für deine Rechnung, die finde ich sehr übersichtlich. Ich verstehe nur nicht wieso wir diese Rechnung überhaupt gemacht haben. Können wir nicht direkt am Anfang a_n = 0 setzen?

Das kannst du erst, wenn du eine Linearkombination der vi hast,

die den Nullvektor ergibt. Denn die vi sind ja als lin. unabh. bekannt.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community