Beweis von mathematischen Aussagen: Lin. Unabh., Abbildung usw.

Question

könnt Ihr mir bei folgenden Aussagen helfen?

a) Sei ψ: ℝ³→ℝ³ eine surjektive Abbldung. Seien u1, u2, u3 ∈ ℝ³ linear unabhängig. Dann sind auch Ψ(u1), ψ(u2), ψ(u3) linear unabhängig.

----Vermutung: Aussage ist wahr. Aber hätte jetzt keine Ahnung wie ich das beweisen soll.

b) Sei U ⊆ ℝⁿ und V⊆ ℝ^k Unterräume, φ: U→V eine lineare Abbildung. Seien u1,..., u_i ∈ U Vektoren, sodass φ(u1), ..., φ(u_i) linear unabhängige Vektoren in V sind. Dann sind auch u1, ..., u_i ∈ U linear unabhängig.

c) Jede surjektive lineare Abbildung φ: ℝⁿ→ℝ^k ist auch injektiv.

d) Jede surjektive lineare Abbildung φ: ℝ³→ℝ³ ist auch injektiv.


Würde mich über eine Hilfe freuen! Gerne auch mit einer kleinen Begründung :)

Comments

Erst mal zur a):

Nehme an, dass die Bilder nicht linear unabhängig wären. Ist die Abbildung dann noch surjektiv? Bedenke, dass du jeden Vektor als Linearkombination von u1,u2,u3 darstellen kannst!

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Wenn die Bilder nicht linear unabhängig sind, dann ist die Abbildung nicht mehr surjektiv, da sie nicht mehr auf alle Elemente des ℝ³abbildet, was ja eine Eigenschaft der Surjektivität ist?