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Hi, ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:


Sei F: V → W eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen V und W.

a) Zeigen Sie: Wenn der Kern von F trivial ist, bilden linear unabhängige Vektoren v1,...,vm ∈ V unter F wieder auf linear unabhängige Vektoren F(v1),...,F(vm) ∈ W ab.

b) Gilt dies auch wenn der Kern nicht trivial ist? Beweisen Sie dies oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.

von

Soll man den Dimensionssatz voraussetzen?

Hi, ja, der Dimensionssatz darf benutzt werden.

Ok, dann kann ich dir leider nicht mehr weiterhelfen, weil ich nicht mehr weiß, wie der Dimensionssatz genau lautete...

1 Antwort

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a) Zeigen Sie: Wenn der Kern von F trivial ist, bilden linear unabhängige Vektoren v1,...,vm ∈ V unter F wieder auf linear unabhängige Vektoren F(v1),...,F(vm) ∈ W ab.


Sei der Kern trivial und  U = < v1,...,vm  > die lineare Hülle der lin. unabh. Vektoren v1,...,vm .

Sei g die Einschränkung von f   auf U , dann ist dim(U) = m  (wegen der lin. Unabh. der vi )

und Bild (g) = < F(v1),...,F(vm) > die lin. Hülle der Bilder der vi .


Und   dim (Kern(g))  = 0  wegen:  triv. Kern.

Nach dem Dim-Satz ist   dim (U) = dim (Kern(g)) + dim Bild(g) hier also

                                             m   =         0          + dim Bild(g)

also  dim Bild(g)  = m und da Bild(g) von den m Vektoren  F(v1),...,F(vm)

erzeugt wird, sind diese lin. unabh.

b) Gilt dies auch wenn der Kern nicht trivial ist? Beweisen Sie dies oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.gilt nicht Betrachte lin. Abb mit der Matrix


1     0     0
0     1     0
0     0     0

Bildet die lin. unabh. Vektoren

0
0
1

und

1
0
0

ab auf

0
0
0

und

1
0
0

Die sind lin. abh.

Und der Kern ist  < ( 0 ; 0 ; 1 ) T > also nicht trivial.

von 152 k

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