Wie löse ich dieses Summenzeichen von n+1 auf?

Question

Aufgabe:

$\sum\limits_{i=1}^{n+1}{\frac{1}{i(i+1)}}$ = $\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{i(i+1)}}$+$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$

= 1-$\frac{n}{n+1}$+$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$

= 1-$\frac{(n+2)-1}{(n+1)(n+2)}$


Problem/Ansatz: Wie komme ich in der ersten Zeile auf 1/(n+1)(n+2) beim Auflösen des n+1? Und wie komme ich von der zweiten auf die dritte Zeile 1-$\frac{(n+2)-1}{(n+1)(n+2)}$? Danke!

Unknown: Latex von Duplikat übernommen

Comments

Frage in ordentlicher:

$\sum\limits_{i=1}^{n+1}{\frac{1}{i(i+1)}}$ = $\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{i(i+1)}}$+$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$

= 1-$\frac{n}{n+1}$+$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$

= 1-$\frac{(n+2)-1}{(n+1)(n+2)}$

Problem/Ansatz: Wie komme ich in der ersten Zeile auf 1/(n+1)(n+2) beim Auflösen des n+1? Und wie komme ich von der zweiten auf die dritte Zeile 1-$\frac{(n+2)-1}{(n+1)(n+2)}$?

Answer 1

Zur ersten Frage: Wenn Du eine Induktion machst (die besteht aus viel mehr als nur einer Rechnung), sollte irgendwo die Ind. Ann. stehen. Die wird hier eingesetzt.

Zur zweiten Frage: bringe den zweiten und dritten Summanden auf einen gemeinsamen Nenner.

Comments

Ja genau, das ist Teil einer Induktion aber die I.annahme habe ich schon eingefügt, dort wurde $\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{i(i+1)}}$ durch 1-$\frac{1}{n+1}$ ersetzt

Zeile zwei bis drei habe ich jetzt verstanden.

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Genau dieses Einfügen der Ind.Ann. ist doch von Zeile 1 zu Zeile 2 passiert, mehr nicht. Was ist denn noch unklar?

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Woher die $\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ in der ersten Zeile kommen, also noch vor dem Einfügen der Annahme. Die müssen ja dann bestimmt aus dem Summenzeichen mit n+1 kommen, ich kann aber nicht herausfinden wie.

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Summe von 1 bis n+1 = (Summe von 1 bis n) + (Summand für i=n+1).

Übe nochmal einfache Aufgaben für das Summenzeichen, bevor Du Induktion damit machst. Die meisten Probleme mit dem Summenzeichen verschwinden, wenn man es ausschreibt - es ist ja nur ein Abkürzungssymbol.