Spann / Erzeugendensystem / Basis

Question

Aufgabe:

Die Begriffe Spann/lineare Hülle, Erzeugendensystem und  Basis.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand dabei helfen, diese Begriffe richtig zu erklären. Ich habe nämlich bald eine mündliche Prüfung und für mich hören sich die Erklärungen die überall finde leider ziemlich gleich an.

Comments

Dass sich die Erklärungen gleich anhören, liegt daran, dass die Begriffe gleich sind. Und damit die Definitionen, Anwendungen usw.

Wo konkret ist denn Dein Problem, bzw. Deine Frage. Bei welcher Erklärung verstehst Du was nicht (ggf. mit Quellenangabe)?

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Also ich würde die Begriffe folgend erklären:

Der Spann ist die Menge aller Linearkombinationen einer Menge von Vektoren und gibt an welcher Raum aufgespannt wird.

Das Erzeugendensystem ist dann eine Menge von Vektoren, deren Linearkombinationen den gesamten Raum (den Spann) bilden.

Und die Basis ist ein Erzeugendensystem, dass nur die linear unabhängigen Vektoren enthält.

Wären die Erklärungen so richtig oder habe ich darin etwas falsch verstanden?

Answer 1

Linearkombination. Gegeben ist eine Menge $M$ von Vektoren. Eine Linearkombination von $M$ bekommt man indem man endlich viele Vektoren aus $M$ mit Skalaren multipliziert und die Ergebnisse dann addiert.

Beispiel.

        $\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix} + 3\cdot \begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix}-4\cdot \begin{pmatrix}-6\\2\\-2\end{pmatrix}$

ist eine Linearkombination der Menge

        $M = \left\{\left(\begin{smallmatrix}1\\1\\-2\end{smallmatrix}\right), \left(\begin{smallmatrix}5\\-3\\4\end{smallmatrix}\right), \left(\begin{smallmatrix}-6\\2\\-2\end{smallmatrix}\right)\right\}$.

Spann/lineare Hülle. Gegeben ist eine Menge $N$ von Vektoren. Die lineare Hülle $\langle N\rangle$ von $N$ ist die Menge aller Vektoren, die man als Linearkombination von Vektoren aus $N$ schreiben kann.

Beispiel. Es ist

        $\begin{pmatrix}30\\-16\\18\end{pmatrix}\in \langle M\rangle$

weil

        $\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix} + 3\cdot \begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix}-4\cdot \begin{pmatrix}-6\\2\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}30\\-16\\18\end{pmatrix}$

ist. Dagegen ist

        $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \notin \langle M\rangle$

weil die Gleichung

        $x\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix} + y\cdot \begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix} + z\cdot \begin{pmatrix}-6\\2\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$

keine Lösung hat.

Die lineare Hülle ist ein Vektorraum.

Erzeugendensystem. Gegeben ist ein Vektorraum $V$ und eine Teilmenge $T\subseteq V$ . $T$ ist ein Erzeugendensystem von $V$ wenn $\langle T \rangle = V$ ist.

Ein Erzeugendensystem ist nicht unbedingt ein Vektorraum. Kann aber natürlich sein, weil jeder Vektorraum ein Erzeugendensystem von sich selbst ist.

Lineare Unabhängigkeit. Gegeben ist eine Menge $T$ von Vektoren. $T$ ist linear unabhängig, wenn der Nullvektor nur auf eine einzige Art als Linearkombination von Vektoren aus $T$ dargestellt werden kann.

Beispiel. $M$ ist nicht linear unabhängig weil sowohl

        $0\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix} + 0\cdot \begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix}-6\\2\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

als auch

        $1\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}-6\\2\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

ist.

Basis. Gegeben ist ein Vektorraum $V$ und eine Teilmenge $T\subseteq V$. $T$ ist eine Basis von $V$ wenn $T$ ein Erzeugendensystem von $V$ ist und $T$ linear unabhängig ist.

Eine Basis kann kein Vektorraum sein, weil der Nullvektor in keiner Basis sein kann.

Answer 2

Du hast alles richtig verstanden. Und auch gut formuliert.

Aber Vorsicht mit den bestimmten Artikeln:

"Der Spann ist...": gut

"Das Erzeugendensystem ist...": Nicht so gut, weil es "das Erzeugendensystem" nicht gibt. Es gibt immer mehrere. Korrekt wäre also "Ein Erzeugendensystem ist..."

"die Basis ist ..., dass nur die linear unabhängigen Vektoren enthält: Nicht so gut, siehe vorigen Punkt. Es gibt viele Basen und viele lin. unabh. Vektoren. Korrekt wäre also:

"eine Basis ist ein Erzeugendensystem, das nur linear unabhängige Vektoren enthält."

Gerade in einer mündlichen Prüfung muss man da aufpassen, weil es eine Vorlage für den Prüfer wäre ("Sie sagen "die Basis ist....", wieviele Basen gibt es denn?")