Vektorraum und Erzeugendensystem E ={x^4 +1, x^4 −x+2, x−1}.

Question

Aufgabe.
Gegeben sei die Menge E ⊆ R≤4[x],
E ={x^4 +1,x^4 −x+2,x−1}.
a) Begründen Sie kurz und ohne die Teilraumkriterien zu bemühen, dass span(E) ein Teilraum des Vektorraums R^≤4[x] ist.
b) Beweisen sie, dass die Vektoren in E linear abhängig sind.
c) Zeigen Sie, dass x^4 + 1, x − 1 ⊂ E ein Erzeugendensystem von span(E ) ist.
d) Bestimmen sie eine Basis von span(E) und geben sie die Dimension von span(E) an.


sitze jetzt schon stunden an diesen aufgaben und komme nicht mal über die erste hinaus

obwohl ich das einführungsthema davor eigentlich gut verstanden habe. hoffe mir kann jemand

noch aushelfen oder erklären wie ich an die Aufgabe rangehen muss! danke schon mal im voraus

Comments

Begründung für a): Definition des Begriffes Span. i.d.R kommt dort das Wort Unterraum sogar explzit vor.

Answer 1

Gegeben sei die Menge E ⊆ R≤4[x],
E ={x^4 +1,x^4 −x+2,x−1}.
a) Begründen Sie kurz und ohne die Teilraumkriterien zu bemühen, dass span(E) ein Teilraum des Vektorraums R^≤4[x] ist.

Es handelt sich um 3 Polynome aus R≤4[x]. Linearkombinationen sind automatisch wieder in R≤4[x]
b) Beweisen Sie, dass die Vektoren in E linear abhängig sind.

1*(x^4 +1) +(-1)* (x^4 −x+2) + (-1)*(x−1) = 0

c) Zeigen Sie, dass x^4 + 1, x − 1 ⊂ E ein Erzeugendensystem von span(E ) ist.

x^4 + 1 - (x-1) = x^4 -x + 2
d) Bestimmen sie eine Basis von span(E) und geben sie die Dimension von span(E) an.

{x^4 + 1, x − 1} ist eine Basis von span(E), da sie beide linear unabhängig sind und das dritte Polynom in E mit ihnen erzeugt werden kann. Vgl. c)

Dim(span(E)) = 2  (2 ist die Anzahl der Elemente der Basis)

Genaueres findest du vielleicht noch hier: https://www.mathelounge.de/68076/erzeugendensystem-von-span-m-m-x-3-x-x-3-2-x-2