Off topic (ohne Induktion):
(2n+1)n≥n!
lässt sich auch mit dem Satz über das arithmetische und geometrische Mittel beweisen.
Die Zahlenpaare (1, n), (2, n-1), (3,n-2), ... (n-2,3), (n-1,2) und (n,1) besitzen alle das arithmetische Mittel (2n+1),
während die geometrischen Mittel
1⋅n, 2⋅(n−1), 3⋅(n−2),... (n−1)⋅2 und n⋅1 sind.
Das liefert die Ungleichungen
(2n+1)≥1⋅n
(2n+1)≥2⋅(n−1)
(2n+1)≥3⋅(n−2)
...
(2n+1)≥n⋅1.
Multipliziert man alle linken Seiten und alle rechten Seiten, ergibt sich
(2n+1)n≥n!⋅n!
(2n+1)n≥n!