(n+1)n ≥ (2n)n! mittels vollständiger Induktion beweisen.

Question

Aufgabe:

(n+1)ⁿ ≥ (2ⁿ)n!   mittels vollständiger Induktion beweisen.

Problem/Ansatz:

Ich komme bis zum Anfang des Induktionsschrittes, aber leider nicht weiter. Ich check nicht, wie man das alles umformen soll und was überhaupt mein Ziel ist.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir formen die Behauptung zunächst etwas um:$$(n+1)^n\ge2^n\cdot n!\quad\Longleftrightarrow\quad\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\ge n!$$

Verankerung bei \(n=0\):$$n=0\implies\left(\frac{n+1}{2}\right)^n=\left(\frac{0+1}{2}\right)^0=1\ge1=0!=n!\quad\checkmark$$

Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):$$\left(\frac{(n+1)+1)}{2}\right)^{n+1}=\left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1}=\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}$$$$\phantom{\left(\frac{(n+1)+1)}{2}\right)^{n+1}}=\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\cdot\frac{n+1}{2}\cdot\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}$$Der erste Faktor ist nach Induktionsvoraussetzung \(\ge n!\). Der zweite Faktor bleibt ungeändert und den dritten Faktor können wir mittels der Bernoulli-Ungleichung wie folgt abschätzen:$$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\ge1+\frac{n+1}{n+1}=2$$Daher gilt insgesamt:$$\left(\frac{(n+1)+1)}{2}\right)^{n+1}\ge n!\cdot\frac{n+1}{2}\cdot2=n!\cdot(n+1)=(n+1)!\quad\checkmark$$

Comments

dankeschön hilft mir sehr weiter

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Off topic (ohne Induktion):

$$\quad\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\ge n!$$

lässt sich auch mit dem Satz über das arithmetische und geometrische Mittel beweisen.

Die Zahlenpaare (1, n), (2, n-1), (3,n-2), ... (n-2,3), (n-1,2) und (n,1)   besitzen alle das arithmetische Mittel \(\left(\frac{n+1}{2}\right)\),

während die geometrischen Mittel
\(\sqrt{1\cdot n}\), \(\sqrt{2 \cdot (n-1)}\), \(\sqrt{3 \cdot (n-2)}\),... \(\sqrt{(n-1) \cdot 2}\) und \(\sqrt{n \cdot1}\) sind.

Das liefert die Ungleichungen

\(\left(\frac{n+1}{2}\right)\ge \sqrt{1\cdot n}\)
\(\left(\frac{n+1}{2}\right)\ge \sqrt{2\cdot (n-1)}\)
\(\left(\frac{n+1}{2}\right)\ge \sqrt{3\cdot (n-2)}\)
...
\(\left(\frac{n+1}{2}\right)\ge \sqrt{n\cdot 1}\).

Multipliziert man alle linken Seiten und alle rechten Seiten, ergibt sich

\(\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\ge \sqrt{n! \cdot n!}\)

\(\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\ge n!\)

Answer 2

Hallo, hier eine Vorgehensweise von mir.

Beweis mit Induktion nach n ∈ |N :

Für n = 1 gilt (1+1)¹ = 2 = 2¹ (Induktionsanfang).

Nun sei n > 1 und die Aussage gelte für dieses n (Induktionsvoraussetzung). Es folg damit auch

2^(n+1) (n+1)! = 2(n+1) 2ⁿ n! ≤ 2(n+1) (n+1)ⁿ

= 2 (n+1)^(n+1)

Nun kann man zeigen, das

[2 (n+1)^(n+1)] / [(n+2)^(n+1)] ≤ 1

Das zeigt dann den Induktionsschritt

Comments

Benutzt Du am Ende Deiner Umformungskette

$$2^n\geq2^{n+1}$$

?

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Nein! Bitte schaue richtig.

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Kommentar nach 1. Korrektur: Am Ende steht nicht die Induktionsbehauptung.

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Diesmal hast Du Pech, in der Änderungshistorie ist Deine erste Version noch zu sehen.

Die Berechtigungen meiner Kritik kann man also nachvollziehen.

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Txman: Warum ist das Spam? Deine Herangehensweise Fehlerhinweise schlecht zu reden oder Korrekturen vorzunehmen und dann zu behaupten es wäre nie falsch gewesen, ist nicht, wie wir das im Forum angehen!

Nimm den Fehlerhinweis an oder frag nach, korrigiere ihn und die Sache ist gegessen.

Dreistigkeiten wie obiges gab es schon öfter und werden nicht mehr toleriert.