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Aufgabe:

Umkehrfunktion

Geg.: ist eine bijektive Funktion f: A -> B

a) Zeige das (f-1)-1 = f, also das die Inversion der Inversenfunktion wieder die ursprüngliche Funktion ergibt.

b) Gegeben sind zwei bijektive Funktionen

f1 : A -> B und f2: B -> C . Zeige, dass die Inverse der Verkettung f1 ο f2 gleich der Verkettung der Inversen in umgekehrter Reihenfolge ist, also:

(f2 ο f1)-1 = f1-1 ο f2-1



Problem/Ansatz:

Zu a)

Ich hab als erstes ein Beispiel eingesetzt:

f(x) = × + 1

Umkehrfunktion: f(x)-1 = x-1

Davon die Umkehrfunktion: (f(x)-1)-1 = x +1

Somit stimmt es ja aber wie kann ich das allgemeiner formulieren?

Bei b fehlt mir komplett der ansatz wie man vorgehen sollte

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Hier ist es hilfreich, die Assoziativität der Verkettung von Funktionen auszunutzen.

Ich mach mal a).

Dazu bezeichne ich mit IAI_A und IBI_B die Identitäten auf AA bzw. BB. Also z. Bsp. IA(a)=aI_A(a) = a für alle aAa \in A. Analog für BB.

Nun haben wir:


f=IBf=((f1)1f1)f=...f= I_B\circ f= ((f^{-1})^{-1}\circ f^{-1})\circ f = ...

...=(f1)1(f1f)=(f1)1IA=(f1)1 ...= (f^{-1})^{-1}\circ (f^{-1}\circ f)=(f^{-1})^{-1}\circ I_A= (f^{-1})^{-1}


Bei b) kannst du ähnlich vorgehen. Probier mal.

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