Wie kann ich folgendes Gleichungssystem mittels Gauß Verfahren lösen?

Question

\( \left|\begin{array}{l}x+y-z=2 \\ x+2 y-3 z=1\end{array}\right| \)

Wie kann ich folgendes Gleichungssystem mittels Gauß Verfahren lösen?

Comments

Das System ist unterbestimmt.

Eine Variable frei wählen oder in Abhängigkeit zu einer anderen ausdrücken.

Answer 1

Aloha :)

Erzeuge so viele Spalten wie möglich mit lauter Nullen und genau einer Eins:$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = & \text{Operation}\\\hline1 & 1 & -1 & 2 &\\1 & 2 & -3 & 1 & -\text{Zeile 1}\\\hline\pink1 & 1 & -1 & 2 &-\text{Zeile 2}\\\pink0 & 1 & -2 & -1 &\\\hline\pink1 & \pink0 & 1 & 3 &\Rightarrow\pink x+z=3\\\pink0 & \pink1 & -2 & -1 &\Rightarrow \pink y-2z=-1\end{array}$$

Danach stelle die Gleichungen nach zu der Eins korrespondierenen Variable um:$$\pink x=3-z\quad;\quad \pink y=-1+2z$$

Nun kannst du alle Lösungen hinschreiben:$$\vec x=\begin{pmatrix}\pink x\\\pink y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-z\\-1+2z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-1\\0\end{pmatrix}+z\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}$$

Da \(z\in\mathbb R\) beliebig gewählt werden darf, hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, die alle auf der angegebenen Geraden liegen.

Answer 2

x + y - z = 2
x + 2y - 3z = 1

Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten und löse nach y auf

y - 2z = -1 --> y = 2z - 1

Setze das für y z.B. in die erste Gleichung ein und löse nach x auf

x + (2z - 1) - z = 2 --> x = 3 - z

Damit lässt sich die Lösung wie folgt in Vektorform darstellen

[x, y, z] = [3 - z, 2z - 1, z] = [3, -1, 0] + z·[-1, 2, 1]

Comments

Ich sehe nicht so richtig den Mehrwert gegenüber der vier Stunden älteren Lösung von Tschaka (der auch irgendwie näher auf das Gaußverfahren eingegangen ist).