Gleichung auflösen (Studium)

Question

Aufgabe:

Ich komme nicht weiter, könnte mir jemand helfen bitte, ich weiß nicht wie ich die Gleichung lösen soll

Text erkannt:

$\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ t \\ 2 t \end{array}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right), \quad \vec{c}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right), \quad \vec{d}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ \sqrt{3} \end{array}\right)$
$\begin{array}{l} \text { a.) } \varphi(\vec{a}, \vec{b})=\frac{2 \pi}{3}, \cos (4)=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b} \cdot|\vec{b}|}{\mid \vec{a}},|\vec{a}|=\sqrt{1+t^{2}+4 t^{2}}|\vec{b}|=\sqrt{4+1+1} \\ =\sqrt{1+5 t^{2}}=\sqrt{6} \end{array}$
$\vec{a} \cdot \vec{b}=2-t-2 t=2-3 t$
$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{2 \pi}{3}=\frac{2-3 t}{\sqrt{1+5 t^{2}} \cdot \sqrt{6}} \quad 1 \cdot \sqrt{1+5 t^{2}} \cdot \sqrt{6} \\ \left.\Leftrightarrow \sqrt{1+5 t^{2}} \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{2 \pi}{3}=2-3 t \quad \right\rvert\,()^{2} \\ \Leftrightarrow\left(1+5 t^{2}\right) \cdot(6) \cdot\left(\frac{2 \pi}{3}\right)^{2}=(2 \cdot 3 t)^{2} \\ \Leftrightarrow\left(1+5 t^{2}\right) \cdot \frac{24 \pi^{2}}{9}=4-6 t-6 t+6 t^{2} \\ \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \end{array}$

Comments

Was soll man mit $\vec{c}$ und $\vec{d}$ machen?

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Für die Frage irrelevant. Die Aufgabe besteht ja offenbar aus mehreren Teilaufgaben.

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Text erkannt:

Bonusaufgabe (5 Punkte). Es seien
$\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ t \\ 2 t \end{array}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right), \quad \vec{c}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right), \quad \vec{d}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right) .$
a) Bestimmen Sie alle $t \in \mathbb{R}$, sodass $\varphi(\vec{a}, \vec{b})=\frac{2 \pi}{3}$.
b) Überprüfen Sie, für welche $t \in \mathbb{R}$ die Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ in einer Ebene liegen.
c) Bestimmen Sie den Einheitsvektor $\vec{e}$, der orthogonal zu $\vec{c}$ und $\vec{d}$ ist und mit welchem das Tripel $(\vec{c}, \vec{d}, \vec{e})$ negativ orientiert ist. Bestimmen Sie außerdem den Flächeninhalt des Parallelogramms, das von $\vec{c}$ und $\vec{d}$ aufgespannt wird.

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Sonst benutzen doch immer die Lehrer den Rotstift, wenn sie Fehler markieren wollen.

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wäre teil 1. von c so richtig:

Text erkannt:

c.)
$\begin{aligned} \vec{c} & =\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right), \vec{d}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right) \\ & \rightarrow\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4 \cdot(-1)-(-2) \cdot 2 \\ -2 \cdot 4-3 \cdot(-1) \\ 3 \cdot 2-4 \cdot 4 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ 4 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right. \\ & \\ & 1 \end{aligned}$

Probe: $\vec{c} \perp \vec{e}:\left(\begin{array}{c}3 \\ 4 \\ -2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ -5 \\ -10\end{array}\right)=3 \cdot 0-20+20=0$

Probe: $\vec{d} \perp \vec{e}\left(\begin{array}{c}4 \\ 2 \\ -1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ -5 \\ -10\end{array}\right)=4 \cdot 0-10+10=0$
Normieren: $|\vec{e}|=\sqrt{(-5)^{2}+(-10)^{2}}=\sqrt{125}=\sqrt{5} \cdot \sqrt{25}$
$\begin{aligned} \vec{e} & =\frac{\vec{e}}{|\vec{e}|}=\frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{25}} \cdot\left(\begin{array}{c} 0 \\ -5 \\ -10 \end{array}\right) \\ -\vec{e} & =-\frac{\vec{e}}{|\vec{e}|}=-\frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{25}} \cdot\left(\begin{array}{c} 0 \\ -5 \\ -10 \end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{25}} \cdot\left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 10 \end{array}\right) \end{aligned}$
$\Rightarrow \vec{e}$ Einheitsvesctor mit $(\vec{c}, \vec{d}, \vec{e})$ positiv orientiert
$\Rightarrow-\vec{e} \quad v \quad "$ mit $\left(\vec{c}, \overrightarrow{d_{1}}-\vec{e}\right)$ negativ orientief

Answer 1

Zunächst beseitige Deinen Rechenfehler: $(3t)^2=?$. Du benutzt keine binomische Formel, muss man auch nicht, kennen sollte man sie aber.

Das ist eine quadratische Gleichung in t. Stelle um und fasse zusammen und bringe es so in die Standardform. Dann wende eine Methode aus der Schule an (pq-Formel, abc-Formel, quadratische Ergänzung).

Comments

Warum ist das aber falsch? Ich muss doch ()² nehmen, um die Wurzel wegzubekommen?

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Der Schritt ist in Ordnung und wurde auch nicht bemängelt. Es ist von einem Rechenfehler die Rede. Es ist nicht $(3t)^2=6t^2$.

Es ist übrigens ein interessantes Phänomen, dass bei "hoch 2" regelmäßig "mal 2" gerechnet wird. Mich würde wirklich mal interessieren, woher das eigentlich kommt.

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Achja, döschwo hat recht, da ist noch ein Fehler: Du hast $\varphi$ in die Gleichung eingesetzt, reingehört aber $\cos\varphi$. Damit ist aber alles klar, oder?

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ups hab ausversehen 3*2 gerechnet, und wie mache ich jetzt weiter? ich weiß nicht wie ich pi wegbekommen kann (müssen alles ohne TR machen)

Text erkannt:

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{2 \pi}{3}=\frac{2-3 t}{=\sqrt{1+5 t^{2}} \cdot \sqrt{6}} \quad 1 \cdot \sqrt{1+5 t^{2}} \cdot \sqrt{6} \\ \left.\Leftrightarrow \sqrt{1+5 t^{2}} \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{2 \pi}{3}=2-3 t \quad \right\rvert\,()^{2} \\ \Leftrightarrow\left(1+5 t^{2}\right) \cdot(6) \cdot\left(\frac{2 \pi}{3}\right)^{2}=(2 \cdot 3 t)^{2} \\ \Leftrightarrow\left(1+5 t^{2}\right) \cdot \frac{24 \pi^{2}}{9}=9 t^{2}-12 t+4 \\ \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \end{array}$
9 von 10

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Hab's Dir gerade gesagt.

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dass bei "hoch 2" regelmäßig "mal 2" gerechnet wird. Mich würde wirklich mal interessieren, woher das eigentlich kommt.

Insbesondere fällt mir das bei großen Zahlen auf. Sogar bei Kindern, die es bei kleinen Zahlen noch richtig machen. 6² = 36, aber 15² soll plötzlich 30 sein.

"3⁵ ist eine abkürzende Schreibweise für 3·3·3·3·3. Es wird fünf mal die 3 miteinander multipliziert".

Beim Kind kommt dann nur noch "fünf mal 3" an.

Ich verwende bei der Erklärung das Wort "mal" überhaupt nicht mehr. Die 5 besagt, dass es fünf Faktoren sind. Die 3 besagt, das jeder Faktor den Wert 3 hat.

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Kann mir jemand bei b helfen? Ich komme nicht weiter und muss das um 0 Uhr abgeben!:((

Text erkannt:

b.) $t \in \mathbb{R}$ die Vesctoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ in einer Ebene
$\begin{array}{l} \vec{a}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ t \\ 2 t \end{array}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right), \quad \vec{c}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right) \\ x_{1} \cdot \vec{a}+x_{2} \cdot \vec{b}=\vec{c} \end{array}$
folgendes SGS:
I. $x_{1}+2 x_{2}=3$
II. $t x_{1}-x_{2}=4$
III. $2 t x_{1}-x_{2}=-2$
$\begin{aligned} & \left.\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3 \\ t & -1 & 4 \\ 2 t & -1 & -2 \end{array}\right)\right]+(-t) \\ \sim & \left.\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 t-1 & -3 t+4 \\ 2 t & -1 & -2 \end{array}\right)\right]+\cdot(-2 t) \\ \sim & \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 t-1 & -3 t+4 \\ 0 & -4 t-1 & -6t-2 \end{array}\right) \end{aligned}$

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ES steht zwar schon alles in den Antworten. Wenn ich jetzt von Deiner Rechnung ausgehe, würde ich als nächstes rechnen:

(Zeile 3)-2(Zeile2): x_2=-10

Dann würde ich x_2=-10 in die 2. Zeile einsetzen: 20t+10=-3t+4. Das ist nur erfüllt, wenn t=-6/23. Dann ist der Vektor c linear abhängig von a und b, sonst sind die Vektoren linear uanbhängig., liegen also nicht in einer Ebene.

Übrigens ich hätte dies in anderer Reihenfolge geprüft: Liegt a in der Ebene, die b und c aufspannen; dann wäre der Parameter t nicht in der Koeffizientenmatrix.Ist aber Geschmackssache.

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Wieso 20t+10 aber hab 20t—1

Text erkannt:

b.) $t \in \mathbb{R}$ die Vesctoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ in einer Ebene
$\begin{array}{l} \vec{a}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ t \\ 2 t \end{array}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right), \quad \vec{c}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right) \\ x_{1} \vec{a}+x_{2} \cdot \vec{b}=\vec{c} \end{array}$
folgendes SGS:
$\begin{array}{l} \text { I. } x_{1}+2 x_{2}=3 \\ \text { II. } t x_{1}-x_{2}=4 \\ \text { III. } 2 t x_{1}-x_{2}=-2 \\ \left.\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3 \\ t & -1 & 4 \\ 2 t & -1 & -2 \end{array}\right)\right]+(-t) \\ \left.-\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 t-1 & -3 t+4 \\ 2 t & -1 & -2 \end{array}\right)\right]+\cdot(-2 t) \\ \left.\sim\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 t-1 & -3 t+4 \\ 0 & -4 t-1 & -(-2-2 \end{array}\right)\right]+(-2) \\ \sim\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 t-1 & -3+4 \\ 0 & 1 & -10 \end{array}\right) \\ \text { III. } x_{2}=-10 \\ \text { II. }-2 t \cdot(-10)-1 \end{array}$

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Alles gut hab’s verstanden, hab vergessen das alles x2 ist

Answer 2

$\vec{a}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ t \\ 2 t \end{array}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right), \quad \varphi(\vec{a}, \vec{b})=\Large\frac{2 \pi}{3}$

$\displaystyle \cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}=\frac{2-3t}{\sqrt{1+5t^2}\cdot\sqrt{6}}=\frac{2-3t}{\sqrt{6+30t^2}}$

$\displaystyle t= 4+\sqrt{\frac{43}{3}}$

Comments

Danke aber so bringt mir das doch nichts:(( ich verstehe garnichts :( wie komme ich auf t?

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$\displaystyle -\frac{1}{2}=\frac{2-3t}{\sqrt{6+30t^2}}$

$\displaystyle \sqrt{6+30t^2}=6t-4$                         6t-4 muss positiv sein

$\displaystyle 6+30t^2=(6t-4)^2$

$\displaystyle 6+30t^2=36t^2-48t+16$

$\displaystyle 6t^2-48t+10 =0$

$\displaystyle t^2-8t+\frac{10}{6} =0$

$\displaystyle t= 4+\sqrt{\frac{43}{3}}$

Du wirst feststellen, dass ich beim Plusminus der Lösungsformel für die quadratische Gleichung das Minus weggelassen habe. Dies aufgrund der Bemerkung, die in diesem Kommentar beim Lösungsweg steht. Wenn man noch die Lösung für t mit dem Minus rechnen würde, wäre der Winkel der Nebenwinkel, also 1/3 pi. Es ist aber ein Winkel von 2/3 pi vorgegeben.

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wo ist 2pi/3 hin? also wie kommst du auf -1/2

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wo ist 2pi/3 hin?

Das sieht man in der zweiten Zeile meiner Antwort: Ich habe davon den Cosinus genommen und es wurde zu -1/2.

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Achso Oki danke, woher weiß ich immer was Cosinus ist

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Man kann es in einen elektronischen Rechner eingeben und der wird -1/2 anzeigen.

Oder man kann sich am Einheitskreis etwas überlegen: Pi im Bogenmaß entspricht 180 Grad. Nach 2/3 von pi (der eingezeichnete Winkel) bleibt noch 1/3 (das eingezeichnete gleichseitige Dreieck) übrig und die grüne Strecke (Cosinus) ist bei -1/2.

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Kommentar hat sich erledigt

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Das "vornherein" hast Du dazuerfunden :)

Man weiß es im nachhinein. Dann wenn man merkt, dass sonst der Term, bei dem ich hingeschrieben habe "muss positiv sein" stattdessen negativ würde.

Nachtrag: Dieser Kommentar bezieht sich auf das was früher unmittelbar darüber stand, und mittlerweile überschrieben worden ist, und hat sich somit auch erledigt.

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müsste in der wurzel nicht 53/3 stehen?

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Wie kommst Du drauf?

So eine Diskussion benötigt immer eine Begründung der Aussagen.

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Weil 16+5/3 53/3 ergibt, Moment ich zeigs dir:

Text erkannt:

$\begin{aligned} t^{2} & -8 t-\frac{5}{3}=0 \text { lpq-Formel } \\ t_{1,2} & =-\frac{-8}{2} \pm \sqrt{\left(-\frac{8}{2}\right)^{2}+\frac{5}{3}} \\ & =4 \pm \sqrt{16+\frac{5}{3}} \\ & =4 \pm \sqrt{\frac{48}{3}+\frac{5}{3}} \\ & =4 \pm \sqrt{\frac{5}{3}} \end{aligned}$
$t_{12}=4 \pm \sqrt{\frac{53}{3}} \quad t_{1}=4+\sqrt{\frac{51}{3}}$ and $t_{2}=4-\sqrt{\frac{53}{3}}$ sind mögliche Sösugen

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Und ich wollte fragen, wie man bei b zeigen soll, für welche t die vektoren a,b und c in einer Ebene liegen? Macht man das mit dem Kreuzprodukt? Aber das würde kein Sinn ergeben oder?

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Danke, jetzt verstehe ich wie Du darauf gekommen bist.

In der quadratischen Gleichung steht + 5/3 also muss unter der Wurzel - 5/3 stehen.

Bei b) würde ich schauen, für welches t man einen Vektor als Linearkombination der beiden anderen schreiben kann. Das gibt 3 Gleichungen in 3 Unbekannten, und die Lösung für t ist die gesuchte Antwort.

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Text erkannt:

b.) $t \in \mathbb{R}$ die Vesatoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ in einer Ebene
$\begin{array}{l} \vec{a}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ t \\ 2 t \end{array}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right), \quad \vec{c}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right) \\ x_{1} \vec{a}+x_{2} \cdot \vec{b}=\vec{c} \end{array}$
folgendes SGS:
I. $x_{1}+2 x_{2}=3$
II. $t x_{1}-x_{2}=4$
III. $2 t x_{1}-x_{2}=-2$
$\begin{aligned} & \left.\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3 \\ t & -1 & 4 \\ 2 t & -1 & -2 \end{array}\right)\right]+(-t) \\ \sim & \left.\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 t-1 & -3 t+4 \\ 2 t & -1 & -2 \end{array}\right)\right]+\cdot(-2 t) \\ \sim & \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 t-1 & -3 t+4 \\ 0 & -4 t-1 & -6-2 \end{array}\right) \end{aligned}$

ist das so richtig und wie löse ich weiter auf?

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und ist der zweite Teil von c richtig?

Text erkannt:

Flödnenihalt des Parallelogramms:
aus der Vorlesung:
$A=|\vec{a}| \cdot h=|\vec{a} \cdot||\vec{b}| \sin \varphi$
also $\quad A=|\vec{a} \times \vec{b}|$
$A=|\vec{c} \times \vec{d}|=\left|\begin{array}{c} 0 \\ -5 \\ -10 \end{array}\right|$
$\begin{aligned} A=\sqrt{0^{2}+(-5)^{2}+(-10)^{2}}=\sqrt{25+100}=\sqrt{125} & =\sqrt{5} \cdot \sqrt{25} \\ & \approx 10 \mathrm{FE} \end{aligned}$

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b)

ich komme auf t = -6/23, x₁ = 23, x₂ = -10

c)

Da solltest Du auf die Antwort eines anderen Benutzers warten. Auf dem Gerät, mit dem ich diese Woche unterwegs bin, kann ich Deine verteilten Notizen dazu nicht gut lesen.

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Ist mein Ansatz bei b also falsch?

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Wenn die drei Vektoren in einer Ebene liegen, spannen sie keinen Spat (bzw. einen Spat mit dem Volumen 0) auf.

Es wäre also auch ein möglicher Ansatz, das Spatprodukt zu bilden und gleich 0 zu setzen.

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Ist mein Ansatz also nicht richtig oder soll ich noch das spatprodukt hinzufügen? Was bedeutet eig das spatprodukt

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Schau mal unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Spatprodukt

$$\left( \begin{pmatrix} 2\\-1\\-1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\4\\-2 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} 1\\t\\2t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\\1\\11 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\t\\2t \end{pmatrix} = 6 + t + 22t = 23t + 6 = 0 \newline t = - \frac{6}{23}$$

Dein Ansatz und deine Lösung sind also nicht verkehrt, allerdings geht es über das Spatprodukt deutlich einfacher und schneller.

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könntest du über meine b auch schauen bitte, da komme ich nicht weiter und vielen dank für den tipp

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könntest du über meine b auch schauen bitte

Jetzt haben Dir doch mehrere Benutzer Lösungswege und Lösung für b) hingeschrieben?

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Kann das garnicht einsehen, nur dass was du mir geschrieben hattest was d sein könnte und was zu c aber zu b nicht

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Oh man es tut mir so leid, ich dachte die Vorschläge wären für c gedacht, habs jetzt verstanden Dankeschön