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Aufgabe:

Wie löst man dieses Gleichungssystem

\(\displaystyle \frac{\log (3)}{\log (2)}=\frac{3 x+5}{5 x-3} \)


Problem/Ansatz:

Kann man es durch umstellen oder Logarithmengesetze schaffen x herauszufinden oder sollte man einfach die Werte ausrechnen.

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Wie löst man dieses Gleichungssystem

Es ist nur eine Gleichung.

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Hier reicht einfaches Umstellen. Multipliziere die Gleichung mit dem Nenner auf der rechten Seite. Den Logarithmusausdruck berechnest du ganz zum Schluss.

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\( \frac{\log (3)}{\log (2)}=\frac{3 x+5}{5 x-3} \)

 \( \log (3)\cdot (5 x-3) =(3 x+5) \cdot  \log (2) \)
\( \log (3)\cdot 5 x-\log (3)\cdot 3= \log (2)\cdot 3 x+\log (2)\cdot 5  \)

\( \log (3)\cdot 5 x -\log (2)\cdot 3 x=\log (2)\cdot 5 +\log (3)\cdot 3 \)
\(  x[\log (3)\cdot 5 -\log (2)\cdot 3] =\log (2)\cdot 5 +\log (3)\cdot 3 \)
\(  x=\frac{\log (2)\cdot 5 +\log (3)\cdot 3 }{\log (3)\cdot 5 -\log (2)\cdot 3}\)

Unbenannt.JPG

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$$z = \frac{\log(3)}{\log(2)} \newline \frac{3x + 5}{5x - 3} = z \newline 3x + 5 = z(5x - 3) \newline 3x + 5 = 5zx - 3z \newline 5zx - 3x = 3z + 5 \newline (5z - 3)x = 3z + 5 \newline x = \frac{3z + 5}{5z - 3} \newline x = \frac{3 \cdot \frac{\log(3)}{\log(2)} + 5}{5 \cdot\frac{\log(3)}{\log(2)} - 3} \newline x = \frac{3 \cdot \log(3) + 5 \cdot \log(2)}{5 \cdot \log(3) - 3 \cdot \log(2)}$$

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Danke genau das meinte ich. Ich war mir nur nicht sicher wie man es nach x umstellen sollte.

log kann stehen für ln (z.B. bei wolframalpha) oder log mit Basis 10 (auf manchen TR auch als lg dagestellt)

log kann stehen für ...

Die Basis ist hier wurst und ändert nichts am Bruch:


\( \displaystyle \frac{\log_{10}(3)}{\log_{10}(2)}  =\frac{\hspace{0.3cm}\Large\frac{\ln (3)}{\ln (10)}\hspace{0.3cm}}{\Large\frac{\ln (2)}{\ln (10)}}  = \frac{\ln (3)}{\ln (2)} \)

Die Basis ist hier wurst und ändert nichts am Bruch:

Darum geht es mir nicht und hat niemand bestritten.

Dieses log-Problem tritt öfter auf. Es war als Hinweis gedacht. Falls eine gerundete Zahl als Ergebnis verlangt ist, ist das relevant.

Zusatz-Info, was ich so nicht wusste, du wohl schon:

„Ist mir wurscht“, zum Beispiel, wobei es wurst ist, ob man wurst oder wurscht schreibt, weil es ausgesprochen immer wurscht ist.
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$$ \begin{aligned} \frac{\log (3)}{\log (2)} &= \frac{3 x+5}{5 x-3} \quad\vert\quad \cdot \frac{5}{3}\\[1.5em] \frac{5\cdot\log (3)}{3\cdot\log (2)} &= \frac{15x+25}{15x-9} \quad\vert\quad \textrm{korr. Subtr.}\\[1.5em] \frac{5\cdot\log (3)}{3\cdot\log (2) - 5\cdot\log (3)} &= \frac{15x+25}{-34} \quad\vert\quad \cdot(-34)\\[1.5em] \frac{5\cdot 34\cdot\log (3)}{5\cdot\log (3) - 3\cdot\log (2)} &= 15x+25 \quad\vert\quad -25 \\[1.5em] \frac{5\cdot 34\cdot\log (3)}{5\cdot\log (3) - 3\cdot\log (2)} - 25 &= 15x \quad\vert\quad :15 \\[1.5em] \frac{34\cdot\log (3)}{3\cdot\left(5\cdot\log (3) - 3\cdot\log (2)\right)} - \frac{5}{3} &= x \\[1.5em] \frac{34\cdot\log (3)-5 \cdot\left(5\cdot\log (3) - 3\cdot\log (2)\right)}{3\cdot\left(5\cdot\log (3) - 3\cdot\log (2)\right)} &= x \\[1.5em] \frac{9\cdot\log (3) + 15\cdot\log (2)}{3\cdot\left(5\cdot\log (3) - 3\cdot\log (2)\right)} &= x \\[1.5em] \frac{3\cdot\log (3) + 5\cdot\log (2)}{5\cdot\log (3) - 3\cdot\log (2)} &= x \\[1.5em] \end{aligned} $$

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